謎題|分析性謎題|令人驚訝的極限|解法
2 π n ! e = 2 π n ! + 2 π n ! 2 + 2 π n ! 3 ! + 2 π n ! 4 ! + . . . {\displaystyle 2\pi n!e=2\pi n!+{\frac {2\pi n!}{2}}+{\frac {2\pi n!}{3!}}+{\frac {2\pi n!}{4!}}+...}
由於正弦是一個週期函式，新增或減去 2 π {\displaystyle 2\pi } 的倍數不會改變結果，因此可以丟棄右側的前幾項（那些 n ! z ! {\displaystyle {\frac {n!}{z!}}} 是整數，因此 n 大於或等於 z 的前幾項），得到
lim n → ∞ n sin ( 2 π n ! e ) = lim n → ∞ n sin ( 2 π n + 1 + 2 π ( n + 1 ) ( n + 2 ) + . . . ) . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n\sin(2\pi n!e)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\sin({\frac {2\pi }{n+1}}+{\frac {2\pi }{(n+1)(n+2)}}+...).}
由於當 x {\displaystyle x} 很小時 sin ( x ) ≈ x + . . . {\displaystyle \sin(x)\approx x+...} (泰勒展開式 of 正弦)，極限是
lim n → ∞ n sin ( 2 π n + 1 ) = lim n → ∞ n 2 π n + 1 = 2 π {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n\sin({\frac {2\pi }{n+1}})=\lim _{n\rightarrow \infty }n{\frac {2\pi }{n+1}}=2\pi } .
