謎題/物理謎題/埃利亞學派/阿喀琉斯評論

解決方案 A

這個問題的一個傳統答案是，事實上，我們只關注了固定的時間範圍。為了理解這一點，讓我們假設烏龜以單位速度前進，阿喀琉斯以速度 x 前進，從烏龜後面 y 個單位距離開始（例如，在點 0）。那麼，阿喀琉斯需要 ${\frac {y}{x}}$ 個時間單位（例如秒）才能到達烏龜的起點。在此期間，烏龜已經前進到 $y+{\frac {y}{x}}$ 點，現在比阿喀琉斯領先 ${\frac {y}{x}}$ 個單位距離。由於 x > 1，距離已經縮短了。為了到達烏龜的第二個點，阿喀琉斯需要 ${\frac {y/x}{x}}={\frac {y}{x^{2}}}$ 的時間。根據歸納法，我們有，阿喀琉斯需要 $y\sum _{i=1}^{n}{x^{-i}}$ 的時間才能到達烏龜在第 $n$ 次前進後到達的點。

當 $n\to \infty$ 時，此表示式收斂於 ${\frac {y}{1-{\frac {1}{x}}}}=:T$，這顯然是有限的。因此，在整個比賽過程中，我們沒有考慮大於或等於 $T$ 的時間點。事實上，在 $T$ 時，阿喀琉斯已經追上了烏龜，並且將在之後的任意微小時間內超過它。

但是，整個論證假設時間是連續的。反過來，這是真的嗎？

所有這些問題都存在缺陷，因為它們在每個“步驟”中都減慢了時間，如果你把時間減慢到足夠慢，很明顯你什麼也做不了。如果你在直線 A 和 B 之間移動，並在每次減半距離時進行時間測量，那麼就會有無限次測量，每次測量都越來越快。這並不意味著阿喀琉斯不會追上烏龜，這隻意味著在追上之前，他們進行了無限多次測量。