爐邊的畢達哥拉斯

丹尼爾·梅斯納（* 1585; † 1625）在 1626 年出版的《政治哲學寶庫》（Thesaurus philopoliticus）中，由埃伯哈德·基澤（Eberhard Kieser）創作的銅版畫《杜恩基爾肯》（Duynkirchen）。
左邊是拿著角尺的畢達哥拉斯，右邊是三個拿著錘子的鐵匠，在鐵砧上放著五根棍子，上面寫著“Guido”。

圖片上的拉丁文和德文文字內容相同，如下所示：

*Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus.*
*Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps)*.

*Der Amboß von drey Hämmern klingt, darauß dreyerley thon entspringt.*
*Pythagoras hie die Music findt, das hett kein Eselskopff gekönt.*

英文
*鐵砧被三個錘子敲擊，發出三種不同的聲音。*
*畢達哥拉斯在這裡發現了音樂，這是驢頭做不到的。*

本文闡述了爐邊的畢達哥拉斯傳說的物理和音樂理論背景，並證明了這個傳說可能具有現實基礎。它基於 2012 年的一篇早期出版物，^[1]以及相應的德語華夏公益教科書，該書已使用 www.DeepL.com/Translator（免費版本）廣泛翻譯。

前言

聲音和數字之間的關係不僅在古代被研究。在中世紀，音樂與算術和幾何學一起，屬於四藝中的四門學科。這些學科至今仍然為音樂理論的思考和研究提供了有意義的領域，這與如今仍在使用的各種聲調體系以及例如音樂審美方面或音調理論有關。作者希望這些關於古代傳說的評論能夠有助於喚醒或鞏固人們對該主題的興趣。

音樂的發明

薩摩斯的畢達哥拉斯（* 約公元前 570 年；† 公元前 510 年後）據傳說，透過他訪問一座熔爐而發明了音樂。這並不意味著在此之前沒有音樂，而是說他被認為是第一個透過將自然數 6、8、9 和 12 的比例分配給純音樂音程（純一度、純四度、純五度和純八度）而為音樂奠定理論基礎的人。

四個整數 6、8、9 和 12 以及它們與純音樂音程（純一度、純四度、純五度和純八度）的關係。

下表顯示了這四種音調的頻率比率，示例頻率分別為 1200、1600、1800 和 2400 赫茲。

音程	純一度	純四度	純五度	純八度
$f$	$f_{6}$	$f_{8}$	$f_{9}$	$f_{12}$
$f$	1200 Hz	1600 Hz	1800 Hz	2400 Hz
${\frac {f}{f_{6}}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {4}{3}}$	${\frac {3}{2}}$	${\frac {2}{1}}$
${\frac {f}{f_{8}}}$	${\frac {3}{4}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {9}{8}}$	${\frac {3}{2}}$
${\frac {f}{f_{9}}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {8}{9}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {4}{3}}$
${\frac {f}{f_{12}}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{4}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{1}}$

使用高音譜號表示的四個畢達哥拉斯音階 c', f', g' 和 c" 的示例。

四個畢達哥拉斯音階 c', f', g' 和 c" 在純畢達哥拉斯音調中的聲音示例，以及所有 15 種組合。

變體 A。

變體 B。

成對地，四個畢達哥拉斯音階可以產生總共四個不同的低頻組合音，這些組合音來自所考慮的兩個音調的頻率之差。關於四個畢達哥拉斯音階中的每一個，組合音都具有它們頻率的一半、三分之一、四分之一或六分之一的整數倍。對於上表中給出的示例頻率，頻率為 200、400、600 和 800 赫茲的四個組合音因此產生。由於比率非常合理，所有組合音也與四個畢達哥拉斯音階諧波一致。

下表顯示了四個畢達哥拉斯音階 c', f', g' 和 c"，以及它們音調頻率的振動數，這些頻率對應於以 440 赫茲為基準的 A。

音調名稱	音調頻率 $f$ （以赫茲為單位）	頻率比率與第一個音階 c 相比
c'	261,6	${\frac {1}{1}}$
f'	349,2	${\frac {4}{3}}$
g'	392,0	${\frac {3}{2}}$
c"	523,3	${\frac {2}{1}}$

古代傳統

不幸的是，畢達哥拉斯的任何著作都不存在（他可能根本沒有留下任何著作），最古老的資料都來自他去世後的幾個世紀。格拉薩的尼科馬庫斯記錄了畢達哥拉斯的發現，至少在他去世後 600 年。

但這些記錄也沒有儲存下來，因此我們不得不求助於晚期拉丁文著作《音樂入門》，作者是波伊提烏斯，該著作是在畢達哥拉斯之後大約 1000 年寫成的，並且據推測也參考了尼科馬庫斯等人的著作。無論如何，在《音樂入門》的第十章中描述了“畢達哥拉斯是如何研究和諧聲音之間的關係的”。^[2]

根據畢達哥拉斯在鐵匠鋪的傳說，他“出於神聖的提示”經過一家工坊，注意到五個不同的錘擊聲所產生的單個音調的和諧。因為他懷疑單個音調是由錘擊的型別和力度造成的，所以他讓工匠們改變了工具。他注意到單個音調不是與工匠有關，而是與工具有關，並且那些一起共振的工具彼此之間有著一定的整數重量關係。

根據《音樂入門》的第十一章，他隨後會在改變琴絃的張力砝碼時研究這些關係，最終也會在單絃琴上進行研究，還會研究琴絃的不同長度和厚度。^[3]

中世紀傳統

500 年後，即畢達哥拉斯作品誕生 1500 年後，中世紀音樂理論家和本篤會修士圭多·達雷佐（* 約 992；† 1050）在他的《微日誌》中，同樣也用拉丁文提到了波伊提烏斯。在第二十章中，圭多提到了“音樂是如何從錘子聲中發明的”。^[4]

關於畢達哥拉斯傳說的這一傳統提到，他經過一家鐵匠鋪，據說那裡是用五個錘子在鐵砧上進行鍛造的。然而，在波伊提烏斯的早期傳統中，並沒有提到鐵匠揮舞錘子或鐵砧。

矛盾

對流傳下來的事實進行物理分析，發現了一些矛盾之處。

{\displaystyle l} — 長度為 $l$ 的杆，橫截面積為 $A$ 。

為此，我們考慮一個理想化的錘頭，它是一個長方體杆，其最大長度為 $l$ 。其體積 $V$ 加上其橫截面積 $A$ 導致

V=l\cdot A

質量 $m$ 的密度為 $\rho$

m=V\cdot \rho =l\cdot A\cdot \rho

錘頭的重力 $F$ 可以直接根據質量 $m$ 和重力加速度的比例常數 $g=9.8{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 計算出來。

F=m\cdot g=l\cdot A\cdot \rho \cdot g

由相同材料製成的錘頭的固有頻率或音調 $f$ 通常與其重量 $F$ 成反比，而是主要取決於其精確的幾何形狀。身體的幾何延伸越長，該方向或相關縱向振動模式的固有頻率越低。因此，最低的聲頻與錘頭的最大長度 $l$ 相關。

然而，錘頭的固有頻率 $f$ 在實踐中根本無法聽到，因為它處於過高的頻率範圍。鋼中的聲速 $v$ 約為 5000 米/秒，典型鍛造錘頭長度 $l$ 為 10 到 16 釐米， $f={\frac {v}{2\cdot l}}$ 導致固有頻率在 15 到 25 千赫之間，與音調無關，無法感知。

最後，需要注意的是，長度為 $l$ 的一根弦的拉伸重量 $F$ 與弦振動的頻率 $f$ 或音高既不成正比，也不成反比。相反，它與拉伸重量 $F$ 的平方根成正比。此外，音高與長度 $l$ 和絃的厚度 $D$ 成反比。

f\propto {\frac {\sqrt {F}}{l\cdot D}}

嘗試解釋

如果考慮或考慮到以下事實，這些矛盾可以消除

畢達哥拉斯可能目睹過，甚至參與過他家鄉薩摩斯島上長達 1000 多米的 **尤帕利諾斯隧道** 的複雜而精細的建造。
在畢達哥拉斯的一生中，薩摩斯島的 **赫拉神廟** 用石灰石和大理石建造。
拉丁語單詞 **faber** 不必翻譯成 *鐵匠*，也可以翻譯成 *工匠*。
當時，**石頭加工** 的作坊和工匠肯定比金屬加工多。
拉丁語單詞 **fabrica** 表示作坊，而不是鐵匠鋪。
同時有 **至少四名工匠** 用不同尺寸的錘子鍛造的作坊可能很少見。
對於 **鑿子** 來說，音高 $f$ 在可以清楚聽到的範圍內。
對於 **鑿子** 來說，縱向振動的音高 $f$ 與它們的長度 $l$ 成反比。
對於橫截面積相同的 **鑿子** $A$ 來說，音高 $f$ 因此也與它們的長度 $l$ 、體積 $V$ 、質量 $m$ 和重量 $F$ 成反比。
振動 **弦** 的音高 $f$ 與它的長度 $l$ 成反比。
振動弦的音調 $f$ 與其厚度 $D$ 成反比。

以下聲音示例展示了五根不同長度的金屬棒或鑿子的音調，它們在縱向軸上受到機械激發時會發出聲音，例如用錘子敲擊。這些金屬棒的橫截面積相同，長度、自然頻率和音調之比為 12:9: ${\sqrt {72}}$ :8:6。

四把畢達哥拉斯鑿子，它們的長度、質量和自然頻率之比為 12:9:8:6。

五根不同長度的金屬棒的音調

12 個長度單位的基本音調。

9 個長度單位的四度音。

8 個長度單位的五度音。

6 個長度單位的八度音。

三全音（正好是八度音的一半），長度為 ${\sqrt {72}}\approx$ 8.485 個長度單位。上圖中沒有展示對應的鑿子，它的長度介於 8 個長度單位和 9 個長度單位的兩個鑿子之間。

具有整數長度單位的金屬棒在所有組合中都能產生和諧的聲音，而具有 ${\sqrt {72}}$ 非理性長度比的金屬棒，其聲音與其他所有聲音都產生不和諧。

在一些相應的和合理的假設下，一個可能發生在畢達哥拉斯時代的場景出現了，並且沒有與物理定律產生任何矛盾。

如果博伊修斯傳統中的事件發生在石匠的作坊中，並且沒有提到熔爐或鐵砧，並且在工具的命名方面存在錯誤，即不僅是指錘子，還包括橫截面相同但長度不同的鑿子集合和錘子，那麼聲音和音調將是清晰可聞的，並且是由錘擊產生的，但歸因於鑿子。在這個假設下，音調的整數比將與鑿子的長度或重量的整數比相同，並且完全獨立於工匠和使用的錘子。

在用單絃琴進行實驗時，畢達哥拉斯會發現，在弦的張力和質地恆定的情況下，弦長和音調之間的關係與弦的厚度和音調之間的關係以及鑿子的長度或重量和音調之間的關係完全相同。一根長度相同但厚度是兩倍的弦或一根長度相同但厚度是兩倍的弦，其音調比具有相同厚度或長度的弦低一個八度。

在這裡觀察到的兩個自然數 2 和 3 的乘積的比率對應於八度音、五度音、四度音和純音的和聲音程。相對於任何基本音調，這四個畢達哥拉斯音調產生一個所謂的四音音階。

對這些比率的進一步研究最終產生了七個音調的七聲音階：A - B - C - D - E - F - G。這個七聲音階構成了希臘人古代完全音階的基礎，該音階是在畢達哥拉斯之後幾個世紀發展起來的，也構成了博伊修斯之後幾個世紀發展起來的四種主要的教會調式普羅圖斯、德特魯斯、特里圖斯和特特拉杜斯的基礎。

古代對弦的張力重量的調查可能是進行過的，但它們既不充分也不必要。如果弦的張力加倍，則結果是頻率增加 $\sqrt {2}$ 倍（≈ 1.4142），這對應於通常被認為是失諧的三全音音程。然而，畢達哥拉斯學派以及早期的巴比倫人也都知道這個無理數。

作品

在和聲理論中，四個畢達哥拉斯音調非常重要，因為它們構成了最常用的終止式之一的框架，該終止式由主音、下屬音、屬音和主音組成。以下示例展示了 C 大調 - F 大調 - G 大調 - C 大調的終止式，四個和絃的根音分別位於低音部。

四個畢達哥拉斯音符 c - f - g - c' 以藍色表示。
C 大調終止式的聽覺示例。

例如，這四個畢達哥拉斯音符是羅伯特·舒曼（* 1810；† 1856）於 1833 年創作的以克拉拉·維克為主題的鋼琴作品《即興曲》（作品編號 5）的中心主題。

格里高利聖詠

格里高利聖詠旋律的第一個轉錄是用無音階記號譜寫的，其中可以記錄下一個音的音調方向：向上、與上一個音調相同或向下，以及音調的大致持續時間。直到 11 世紀，古伊多·達雷佐引入了帶有音階記號的線譜，才有可能精確地記譜七聲音階旋律的音程。在中世紀的不同傳統中，對禮儀拉丁文的文字，旋律的進行略有不同。C 調和 F 調的譜號已經開始使用，但還沒有音高標準，因此儘管七聲音階的七個音調有名稱，但絕對音高仍然不確定。

我將我的靈魂仰望你

格里高利聖詠的應答詩《我將我的靈魂仰望你》作為入祭曲在降臨節第一個主日演唱。這首旋律以第八調（特特拉杜斯·普拉加利斯）演唱，終音（最後音調）為 G，並以文字“我將我的靈魂仰望你，主”開始。新拉丁文字的第一個三個詩句，以及相應的希伯來字母 Aleph、Beth 和 Ghimel，如下所示：

詩篇 25 (24),1-3A^[5]

1 Aleph. 我將我的靈魂仰望你，主，

2A Beth. 我的上帝，我信靠你；我不會蒙羞。

2B 我的敵人不要因我歡欣，

3A Ghimel. 因為凡是依靠你的，必不蒙羞。

第一節的文字再次出現在詩篇 143（新拉丁文字）中

詩篇 143 (142),8^[6]

求你清晨將你的慈悲恩典，讓我聽見，因為我將我的盼望寄託在你。

求你指示我該走的路，因為我將我的靈魂仰望你。

根據《新聖詠經》恢復的旋律包含第一節中的 20 個音符，其中 14 個屬於畢達哥拉斯四音音階 c - f - g - c'，其餘 6 個可以被認為是裝飾音或經過音。旋律部分以 F 音結束，回聲（持續音或旋律音）是 C 音。

降臨節第一個主日，根據《新聖詠經》記譜的應答詩《我將我的靈魂仰望你》的開頭，以 C 調譜號以方格記譜法記譜。四個畢達哥拉斯音調 c - f - g - c' 以藍色表示。
降臨節第一個主日，根據《新聖詠經》記譜的入祭曲《我將我的靈魂仰望你》開頭的音訊示例。

下表列出了根據《新聖詠經》版本，入祭曲詩篇 25 的四個部分的畢達哥拉斯音調的頻率。

詩句	終音	編號 c	編號 f	編號 g	編號 c'	畢達哥拉斯音調之和	編號其他音調	之和所有音調	之和音調之和
1	f	1	3	8	2	14	6	20	70,0%
2A	g	0	4	8	10	22	10	32	68,8%
2B	f	0	2	4	11	17	12	29	58,6%
3A	g	0	2	13	3	18	17	35	51,4%

在所有四個部分中，四個畢達哥拉斯音調占主導地位，甚至在前兩個部分中非常明顯。這種巧合相當引人注目，似乎這位匿名的中世紀作曲家想透過基督教教會年中格里高利聖詠曲目的第一個作品，來向我們指出音樂理論的畢達哥拉斯起源以及古代和格里高利調式的體系。

突然發生

格里高利聖詠中另一個例子是五旬節主日聖餐經 Factus est repente de caelo sonus（突然從天上發出聲音）^[7]，以第七調（Tetrardus authenticus）演唱，音調為 D，終音為 G。歌詞描繪了五旬節聖靈降臨基督教社群，以火舌降下，使信徒們說方言的事件。除開頭三個音符的強重音組紐姆（porrectus flexus）包含兩個最高音符 f' 和一個比其低半音的過渡音符 e' 外，第一節詩歌的旋律元素僅由畢達哥拉斯音階 g – c' – d 組成。

根據羅馬公禱書，五旬節主日 *Factus est repente* 反覆歌的開頭，用方格記譜法記譜，並使用 C 譜號。畢達哥拉斯音階 g - c' - d' 以藍色表示。
五旬節主日聖餐經 *Factus est repente* 開頭音訊樣本，根據羅馬公禱書。

巴洛克晚期

17 世紀末有兩部作品明確提及了這個傳說，這兩部作品均由義大利作曲家讓-巴蒂斯特·呂利（* 1632；† 1687）的學生創作。

錘擊聲是在 1690 年由法德籍管風琴演奏家兼作曲家格奧爾格·穆法特（* 1653；† 1704）引入的，他在 C 大調的管風琴作品 Nova Cyclopeias Harmonica 中使用了 3/4 拍子的音調。這首作品以一首由兩段 16 小節組成的詠歎調開頭。其他部分則包括八個 21 小節的變奏，以主題 Ad Malleorum Ictus Allusio（模仿錘擊聲）作為主題，並以聖歌 Summo Deo Gloria 結尾。各段作品均以基本音符 c-f-g-c' 構建，並以各種方式演奏和編配和聲。在詠歎調的最後四個小節和變奏的最後七個小節中，每個拍子至少可以聽到其中一個畢達哥拉斯音階。

1692 年，德國小提琴家、作曲家兼宮廷指揮魯珀特·伊格納茨·邁爾（* 1646；† 1712）出版了獻給巴伐利亞選帝侯馬克西米利安二世的七首管絃樂組曲

畢達哥拉斯鐵匠之音

由各種詠歎調 / 小奏鳴曲 / 序曲 / 阿勒曼德 / 庫朗特 / 加沃特 / 薩拉班德 / 吉格 / 小步舞曲 / 等組成。

由四種樂器演奏，並附有總譜低音，適用於宴會音樂 / 喜劇 / serenades / 以及其他歡樂聚會。

七首單小提琴組曲的主調分別為 F 大調、D 大調、G 大調、D 小調、F 大調、D 大調和降 B 大調。

巴洛克晚期

德國作曲家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫（* 1685；† 1750）在 1741 年創作了一部偉大的作品，即《戈德堡變奏曲》，這部作品與格奧爾格·穆法特在 50 多年前創作的 Nova Cyclopeoas Harmonica 一樣，由兩段詠歎調和變奏組成。這兩段詠歎調有很多相似之處。

約翰·塞巴斯蒂安·巴赫在年輕時就為管風琴創作了一部同樣傑出的作品，即《C 小調帕薩卡利亞和賦格》（巴赫作品目錄 582）。帕薩卡利亞的八小節主題包含 15 個音符，其中 10 個音符對應畢達哥拉斯音階。

約翰·塞巴斯蒂安·巴赫的《C 小調帕薩卡利亞》（BWV 582）的主題，其中畢達哥拉斯音階以藍色表示。
約翰·塞巴斯蒂安·巴赫的《C 小調帕薩卡利亞》（BWV 582）的主題。

總結

關於畢達哥拉斯在鐵匠鋪的傳說可能是基於真實事件。無論這裡描述的規律是否真的在古代被研究和發現，中世紀和近代的傳統中顯然存在著一些不準確之處。

此外，還有一些與歷史不符的新增內容被加入了這個流傳下來的傳說，但這些內容對於解釋波伊提烏斯的傳統並不需要進一步考慮。然而，傳統中的不準確以及與實際做法不符的新增和更改無疑導致了許多作者將關於畢達哥拉斯研究的最古老的報道歸為傳說——但根據上述解釋，這可能很不公正。

德國理論物理學家維爾納·海森堡（* 1901；† 1976）在其 1937 年的文章《古代自然哲學思想在現代物理學中的體現》中寫道

現代原子概念和今天作為原子論影像的數學形式的抽象性，已經將我們引向了現代精確自然科學從古代借鑑的第二個基本思想：數學結構的賦義能力。
自牛頓以來，自然科學就在動態定律的數學結構中，即描述該定律的方程中，尋找畢達哥拉斯學派認為存在於恆星軌道上的和諧。
這種自然觀取得的成功，部分導致了對自然力量的真正掌控，從而決定性地干預了人類的發展，證明了畢達哥拉斯學派的信念是正確的，而且程度是不可預見的。
這種轉變意味著對畢達哥拉斯學派綱領的始終如一的實施，因為無限多樣的自然現象在其數學影像中得到了忠實的體現，即無限數量的方程解，例如牛頓的力學微分方程。

獻辭

主要作者感謝他的老師洛倫茲·魏因裡希（*1929）。他憑藉其對中世紀和格里高利聖詠的精深瞭解，將主要作者引入了中世紀教會音樂的世界。

參考文獻

↑ 馬庫斯·鮑茨奇：關於格里高利聖詠調式的畢達哥拉斯根源，柏林-蘭克維茨 Mater Dolorosa，2012 年 3 月
↑ X. 畢達哥拉斯如何研究和聲的比例，出自：De institutione musica : 關於音樂教育，波伊提烏斯著，根據戈特弗裡德·弗裡德萊因的版本，萊比錫，特奧布納，1867 年；由漢斯·齊默爾曼譯為德語，格爾利茨，2009 年
↑ XI. 畢達哥拉斯如何測量和聲的不同比例。，出自：De institutione musica : 關於音樂教育，波伊提烏斯著，根據戈特弗裡德·弗裡德萊因的版本，萊比錫，特奧布納，1867 年；由漢斯·齊默爾曼譯為德語，格爾利茨，2009 年
↑ 第二十章：音樂是如何從錘子的聲音中誕生的，出自：Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae / Guido 關於音樂藝術規則的簡要論述，由邁克爾·赫爾姆斯多夫譯為德語，特里爾，1876 年
↑ 詩篇 25（新拉丁文字）
↑ 詩篇 143（新拉丁文字）
↑ 參見使徒行傳第二章，統一譯本，2016 年

專案摘要

目標受眾： 音樂家、歷史學家、自然科學家
學習目標： 基於古代傳說的整數-有理數關係。
書籍贊助/聯絡人： User:Bautsch
目前是否需要合著者？ 是的，非常需要。直接在文字中更正明顯的錯誤；內容請透過討論進行。
合著者指南： 維基百科式的。

[1] 馬庫斯·鮑茨奇：關於格里高利聖詠調式的畢達哥拉斯根源，柏林-蘭克維茨 Mater Dolorosa，2012 年 3 月

[2] X. 畢達哥拉斯如何研究和聲的比例，出自：De institutione musica : 關於音樂教育，波伊提烏斯著，根據戈特弗裡德·弗裡德萊因的版本，萊比錫，特奧布納，1867 年；由漢斯·齊默爾曼譯為德語，格爾利茨，2009 年

[3] XI. 畢達哥拉斯如何測量和聲的不同比例。，出自：De institutione musica : 關於音樂教育，波伊提烏斯著，根據戈特弗裡德·弗裡德萊因的版本，萊比錫，特奧布納，1867 年；由漢斯·齊默爾曼譯為德語，格爾利茨，2009 年

[4] 第二十章：音樂是如何從錘子的聲音中誕生的，出自：Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae / Guido 關於音樂藝術規則的簡要論述，由邁克爾·赫爾姆斯多夫譯為德語，特里爾，1876 年

[5] 詩篇 25（新拉丁文字）

[6] 詩篇 143（新拉丁文字）

[7] 參見使徒行傳第二章，統一譯本，2016 年

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