量子化學/示例 10

問題

使用普朗克輻射定律，求出最大強度為 504 nm 的電磁輻射發射的恆星的表面溫度。以開爾文為單位給出你的答案。

獲取正確的函式

黑體材料的定義是能夠吸收照射到它身上的所有輻射。^[1] 當黑體處於恆定溫度時，可以假設其發射頻率分佈與其溫度之間僅存在直接關係來確定其發射頻率分佈。^[1] 此外，電磁（EM）輻射的頻率也可以用波數的單位來衡量 ${\text{cm}}^{-1}$.

${\begin{aligned}\rho (\nu ,T)&={\frac {2h\nu ^{2}}{c^{2}}}\left\langle E(\nu ,T)\right\rangle &&\rho (\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\left\langle E(\nu ,T)\right\rangle \end{aligned}}$

普朗克定義 ${\textstyle \langle E(v,T)\rangle }$ 的方法是推匯出基於玻爾茲曼分佈的閉合形式的諧振子。^[2][3] 現在，普朗克定律的最終形式可以應用於這個問題，因為所有引數都已知，除了待求引數。下圖顯示了 EM 輻射強度的分佈（即曲線面積）相對於頻率（以赫茲；Hz 為單位）和溫度（以開爾文；K 為單位）。 $${\begin{aligned}d\rho (v,T)&=\rho (\nu ,T)d\nu {\text{, where }}\rho (\nu ,T)=\left({\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\right)\left[\exp \left({\frac {h\nu }{k_{B}T}}\right)\right]^{-1}\\&{\text{Note that }}\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|={\frac {c}{\lambda ^{2}}}\\d\rho (\lambda ,T)&=\rho (\lambda ,T)d\lambda {\text{, where }}\rho (\lambda ,T)=\left({\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\right)\left[\exp \left({\frac {hc}{k_{B}T\lambda }}\right)\right]^{-1}\end{aligned}}$$普朗克黑體輻射定律預測了當環境處於極端條件時其定量性質（如頻率、波長和溫度）的行為。^[3]

普朗克黑體輻射定律 $\rho (\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\times {\frac {1}{\left[\exp({\frac {hc}{k_{B}\lambda T}})\right]-1}}$

求解溫度

任何函式的自變數的最大值可以透過將函式的導數設為零來找到。只有$T$是未知的，並且相對於自變數$\lambda$。因此，普朗克定律將相對於$\lambda$進行推導。

首先，為了簡便，令${\textstyle x={\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}}$。

${d\rho \over d\lambda }=(2hc^{2})\left[{\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}-{\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}\right]=0$

第一項只包含非零常數，因此留下

${\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}-{\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}=0$

${\begin{aligned}{\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}&={\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}\\{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}&=5\\{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5&=0\\(x-5)e^{x}+5&=0\end{aligned}}$

將${\textstyle x={\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}}$代入得到

${\begin{aligned}\left({\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}-5\right)e^{x}&=0&&\rightarrow &&&{\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}-5=0\end{aligned}}$

在最大強度下，${\textstyle \lambda _{max}=504{\text{nm}}}$。將所有已知值和常數（以 SI 單位表示）代入，然後重新排列以求解 T 將確定太陽在這些特定條件下的表面溫度。

已知值

變數	值	單位
$h$	$6.62607\times 10^{-34}$	$m^{2}kg \over s$
$\lambda _{max}$	$504\times 10^{-9}$	$m$
$k_{B}$	$1.38065\times 10^{-23}$	${\frac {m^{2}kg}{s^{2}K}}$
$c$	$2.99792\times 10^{8}$	$m \over s$

${\begin{aligned}T={\frac {hc}{5k_{B}\lambda _{max}}}={\frac {(6.62607\times 10^{-34})(2.99792\times 10^{8})}{5(1.38065\times 10^{-23})(504\times 10^{-9})}}=5709.432~{\text{K}}=5710~{\text{K}}\end{aligned}}$

因此，最大黑體輻射發射波長為 504 奈米的恆星表面溫度略高於 5709 開爾文。