量子化學/示例 11

示例 11

使用一維盒模型估計激發乙烯中電子從 π 到 π* 分子軌道的所需光波長。

解決方案

具有特定量子數 $n$ 的一維盒中的粒子能級如下所示。

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

在這個方程中，$h$ 代表普朗克常數，$m$ 是粒子的質量，而 $L$ 是盒子的長度。

乙烯中碳原子之間雙鍵中的 π 電子可以近似為一維盒模型中的粒子。這意味著這個問題中的粒子質量將是電子的質量，而盒子的長度對應於乙烯分子中碳原子之間的鍵長。

此外，由於電子從一個能級移動到另一個能級，所以上面的能量方程需要轉換為 $\Delta E$ 的方程。

$\Delta E=E_{f}-E_{i}={\frac {h^{2}n_{i}^{2}}{8mL^{2}}}-{\frac {h^{2}n_{f}^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})$

現在，已知雙鍵碳原子之間的鍵長為 133pm，電子的質量為 9.1093856x10^-31 kg，因此可以計算出乙烯中 π 和 π* 分子軌道之間的能量變化。從基態 n=1 移動到 n=2 的激發態。

$\Delta E={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})$

$\Delta E={\frac {(6.626{\text{x}}10^{-34}{\frac {{\text{m}}^{2}{\text{kg}}}{\text{s}}})^{2}}{8(9.109\times 10^{-31}{\text{kg}})(133\times 10^{-12}{\text{m}})^{2}}}(2^{2}-1^{2})$

$\Delta E=1.0217\times 10^{-17}{\text{J}}$

現在已知激發電子到 π* 軌道的所需能量，可以透過以下方程計算光的波長，其中 c 是真空中的光速，而 $\lambda$ 是光的波長。

$\Delta E={\frac {hc}{\lambda }}$

然後可以重新排列方程來求解光的波長。

$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$

透過代入已知常數和上面計算的 $\Delta E$ 值，可以找到波長。

$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$

$\lambda ={\frac {(6.626\times 10^{-34}{\frac {{\text{m}}^{2}{\text{kg}}}{\text{s}}})(2.998\times 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}})}{1.0217\times 10^{-17}{\text{J}}}}$

$\lambda =1.9\times 10^{-7}{\text{m}}$

$\lambda =19{\text{nm}}$

因此，激發乙烯中電子從π到π*分子軌道所需的入射光波長為19nm。