量子化學/示例 12

寫一個問題及其解決方案，展示量子剛性轉子的特定選擇規則。

考慮一個 N₂ 分子，其鍵長為 1.09 Å。

(a) 使用剛性轉子的特定選擇規則計算角動量量子數為 $J=3$ 時的能量。

解決方案：該鍵長已知（1.09 Å），需要計算約化質量（μ）和慣性矩（I）以確定角動量量子數為 $J=3$ 時的能量。 鍵長和約化質量也必須轉換為 SI 單位。

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$\mu ={\frac {14.0067u\cdot 14.0067u}{14.0067u+14.0067u}}\cdot ({\frac {1.6605\times 10^{-27}kg}{1u}})$

$\mu =1.1629\times 10^{-26}kg$

現在，計算慣性矩 ($I$)

$I=\mu \cdot (r_{e})^{2}$

$=(1.1629\times 10^{-26}kg)\cdot (1.09\mathrm {\AA} \cdot 1.00\times 10^{-10}m)^{2}$

$=1.3816\times 10^{-46}kg\cdot m^{2}$

由於該分子是線性的（N₂），因此能量級 ($E_{J}$) 可以使用線性剛性轉子方程計算

$E_{J}=J(J+1)\cdot ({\frac {\hbar ^{2}}{2I}})$

$E_{J}=3(3+1)\cdot ({\frac {(1.05457\times 10^{-34}J\cdot s)^{2}}{2(1.3816\times 10^{-46}kg\cdot m^{2})}})$

$E_{J}=12\cdot (4.0247\times 10^{-23}J)$

$E_{J}=4.8296\times 10^{-22}J$

(b) 計算躍遷能量為 2.4176 × 10^-22J 時的量子數。參考 (a) 部分，該值是否符合特定選擇規則？為什麼或為什麼不？

線性剛性轉子方程必須重新排列成線性形式以求解 $J$.

$E_{J}=J(J+1)\cdot ({\frac {\hbar ^{2}}{2I}})$

$J^{2}+J={\frac {2\cdot E\cdot I}{\hbar ^{2}}}$

$J^{2}+J-{\frac {2\cdot E\cdot I}{\hbar ^{2}}}=0$

$J^{2}+J-{\frac {(2)\cdot (2.4176\times 10^{-22}J)\cdot (1.3816\times 10^{-46}kg\cdot m^{2})}{(1.05457\times 10^{-34}J\cdot s)^{2}}}=0$

$J^{2}+J-6.0069=0$

為了解決這個關係，必須使用二次方程公式

$J={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2\cdot a}}$

$J={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot -6.0069}}}{2\cdot 1}}$

$J={\frac {-1\pm {\sqrt {25.0275}}}{2}}$

$J={\frac {-1\pm {4.9973}}{2}}$

$J=2.0014,-3.0014$

剛性轉子的量子數不能為負，∴ $J=2$.

該躍遷符合量子剛性轉子的特定選擇規則，因為旋轉量子數的變化是 $\Delta J=\pm 1$.

(c) 計算躍遷能量為 1.2073 × 10^-21J 時的量子數。參考 (a) 部分，該值是否符合特定選擇規則？為什麼或為什麼不？

線性剛性轉子方程必須重新排列成線性形式以求解 $J$.

$J^{2}+J-{\frac {2\cdot E\cdot I}{\hbar ^{2}}}=0$

$J^{2}+J-{\frac {(2)\cdot (1.2073\times 10^{-21}J)\cdot (1.3816\times 10^{-46}kg\cdot m^{2})}{(1.05457\times 10^{-34}J\cdot s)^{2}}}=0$

$J^{2}+J-29.9970=0$

為了解決這個關係，必須使用二次方程公式

$J={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2\cdot a}}$

$J={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot -29.9970}}}{2\cdot 1}}$

$J={\frac {-1\pm {\sqrt {120.98813}}}{2}}$

$J={\frac {-1\pm {10.9994}}{2}}$

$J=4.9997,-5.9997$

剛性轉子量子數不能為負數，因此$J=5$。這種躍遷不符合剛性轉子的特定選擇規則，因為旋轉量子數的變化不在$\Delta J=\pm 1$內。與(a)部分相比，它發生了$\Delta J=\pm 2$的變化。