量子化學/示例 14

使用微積分方法展示基態（n=0）量子諧振子的最可能位置

問題

量子諧振子在基態時的最可能位置是什麼？使用機率密度方程計算這個位置，即在 n=0 時的最可能位置。

機率分佈 $P_{n}(x)=N_{n}^{2}H_{n}({\sqrt {\alpha }}x)^{2}e^{-\alpha x^{2}}$

解決方案

n=0 時的厄米多項式為

$H_{0}(x)=1$

n=0 時的歸一化因子為

$N_{0}={\frac {1}{\sqrt {2^{1}1!}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}$

α 是一個常數，等於

$\alpha ={\sqrt {\frac {k\mu }{\hbar }}}$

n=0 時的機率分佈

$P_{n=0}(x)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}e^{-\alpha x^{2}}$

最可能的位置是在機率分佈最大時

${\frac {\partial P}{\partial x}}=0$

對機率分佈應用這個偏導數得到

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}e^{-\alpha x^{2}}=0$

常數可以從導數中取出

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{-\alpha x^{2}}=0$

導數得到

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}[-2\alpha xe^{-\alpha x^{2}}]=0$

由於它等於零，常數可以被除掉，剩下

$[-2\alpha xe^{-\alpha x^{2}}]=0$

由於所有部分都相乘，所以可以除掉，剩下

$x=0$

對於量子諧振子，n=0 的基態，機率分佈最大值的位置為 0。