量子化學/示例 16

寫一個示例問題，展示計算 HCl 分子從 J=1->0 轉動態發射的電磁輻射頻率。

示例 16：給定鍵長 r_e=1.27Å，求 HCl 分子從 J=1→0 轉動態發射的電磁輻射頻率。

給定簡化質量 (μ) 和慣性矩 (I)，可以找到能量，並隨後用於找到躍遷的頻率。

請注意，對於 J=1→0 的轉動態，不需要 ΔE，因為躍遷態處於基態。

可以使用分子的簡化質量和鍵長 (r_e = 1.27Å) 來找到慣性矩。

$I=\mu \cdot r_{e}^{2}$

其中簡化質量可以透過以下公式計算

$\mu ={\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, 其中 $m_{1}=1.00784u$ 和 $m_{2}=35.453u$

$\mu ={\frac {(1.00784)(35.453)}{1.00784+35.453}}=0.9770u$

轉換為 SI 單位

$1u=1.66054\times 10^{-27}kg$，因此

$\mu =0.9799u\times {\frac {1.66054\times 10^{-27}kg}{1u}}=1.627\times 10^{-27}kg$

請注意，鍵長也必須是 SI 單位，

1Å= 1×10^-10m

鍵長 = 1.27×10^-10m

現在可以計算慣性矩

$I=(1.627\times 10^{-27}kg)(1.27\times 10^{-10}m)^{2}=2.624\times 10^{-47}kg\cdot m^{2}$

計算出慣性矩後，就可以找到能量

$E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}J(J+1)=hv$

和 $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$，其中 h 是普朗克常數。

$E={\Biggl (}{\frac {6.626\times 10^{-34}m^{2}kgs^{-1}}{2\pi }}{\Biggr )}^{2}\times {\frac {1}{2\times 2.624\times 10^{-47}kg\cdot m^{2}}}\times 1(1+1)$

$E=4.240\times 10^{-22}J$

因此可以找到傳輸的頻率

$v={\frac {E}{h}}$

$v={\frac {4.240\times 10^{-22}J}{6.626\times 10^{-34}m^{2}kgs^{-1}}}=6.40\times 10^{11}s^{-1}$