量子化學/示例 17

透過計算確定 HCl 的力常數為 480 N/m。根據此資訊，求激發 HCl 分子從基態到第一激發態所需的電磁輻射頻率。

解答

給定 HCl 的鍵常數 (k)，我們使用基本頻率和鍵常數之間的關係來求鍵常數。

$\nu _{0}={\frac {1}{2\pi }}{\left({\frac {k}{\mu }}\right)}^{1/2}$

其中 $K$ 是鍵常數。

$\mu$ 是 HCl 的摺合質量。

要找到 HCl 的摺合質量，將 H 和 Cl 的質量相乘，然後除以質量之和。

$\mu ={\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

對於 HCl，摺合質量計算如下

$\mu ={\frac {1.007842u\cdot 35.453u}{1.007842u+35.453u}}=0.979982u$

轉換為 SI 單位 Kg

$1u=1.66054\cdot 10^{-27}Kg$

$0.979983u=0.979983u\cdot 1.66054\cdot 10^{-27}Kg$

$\mu =1.6273\cdot 10^{-27}Kg$

求基本頻率

$\nu _{0}={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {K}{\mu }}\right)^{1/2}$

$={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {480N/m}{1.6273\cdot 10^{-27}Kg}}\right)^{1/2}$

$=8.6438\cdot 10^{13}hz$

找到基本頻率後，可以透過以下公式求不同量子能級的能量

$E_{v}=h\nu _{0}\left(v+{\frac {1}{2}}\right)$

對於基態，即 $v=0$

$E_{0}=h\nu _{0}\left(0+{\frac {1}{2}}\right)$

$E_{0}=h\nu _{0}\left({\frac {1}{2}}\right)$

對於第一激發態，即 $v=1$

$E_{1}=h\nu _{0}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)$

$E_{1}=h\nu _{0}\left({\frac {3}{2}}\right)$

這兩個狀態之間的能量差為

$\Delta E=E_{1}-E_{0}$

$\Delta E=h\nu _{0}\left({\frac {3}{2}}\right)-h\nu _{0}\left({\frac {1}{2}}\right)$

$\Delta E=h\nu _{0}$

能量定義為普朗克常數乘以頻率

$\Delta E=hv$

$hv=h\nu _{0}$

$v=\nu _{0}=8.6438\cdot 10^{13}hz$