量子化學/示例 18

寫一個示例問題，展示如何使用紅外光譜法測定 CO 的力常數。

問題

使用紅外光譜法，計算一氧化碳 (CO) 的力常數，並將結果以 kN/m 為單位報告。

解答

為了解決這個問題，需要 CO 的紅外光譜圖。網站 webbook.nist.gov/chemistry/ 是一個公開的資料庫，可以用於獲取紅外光譜圖。如果您不熟悉如何獲取紅外光譜圖，請按照以下步驟操作：開啟 NIST 網站，轉至“搜尋選項” -> “名稱” -> 輸入：“一氧化碳” -> 選擇：“紅外光譜圖” -> 將“透射率”更改為“吸光度” -> 最後，截圖。

先前獲取的 CO 紅外光譜圖是低解析度的轉動-振動光譜圖。在紅外光譜圖中，可以透過利用 P 支、Q 支和 R 支來確定基頻。請記住，Q 支是純振動，它是禁戒的，因此峰不存在，位於 P 支和 R 支之間。

使用網站 apps.automeris.io/wpd/ 可以從先前拍攝的 CO 紅外光譜圖影像中準確地收集資料點。對於低解析度光譜圖，找到 R 支和 P 支，使用峰值最大值作為資料點。如果您不熟悉如何從影像中獲取資料點，請按照以下步驟操作：開啟網站 -> 載入影像 -> 選擇檔案 -> 開啟 -> 2D(X-Y) 繪圖 -> 對齊座標軸 -> 繪製已知 $X_{1},X_{2}.Y_{1},Y_{2}$ -> 完成 -> 插入已知值 -> 確定 -> 新增點 -> 檢視資料。

方程 1：使用影像中的資料點，可以透過以下關係確定基頻。

$v_{0}=\left({\frac {num_{H}-num_{L}}{2}}\right)+num_{L}\equiv num_{H}-\left({\frac {num_{H}-num_{L}}{2}}\right)$

其中，

$v_{0}$ 是基頻 $({\text{cm}}^{-1})$

$num_{H}$ 是最高波數 $({\text{cm}}^{-1})$

$num_{L}$ 是最低波數 $({\text{cm}}^{-1})$

方程 2：以下方程用於將基頻與力常數聯絡起來。

$v_{0}={\frac {1}{2\pi c}}\left({\frac {k}{\mu }}\right)^{1/2}$

其中，

$v_{0}$ 是基頻 $({\text{m}}^{-1})$

$c$ 是光速 $({\text{m/s}})$

$k$ 是力常數 $({\text{N/m}})$

$\mu$ 是約化質量 $({\text{kg}})$

公式 3：約化質量公式是將基頻與力常數聯絡起來的必要條件。記住要使用精確質量，並且由於沒有指定同位素，這意味著我們假設使用最豐富的版本。

對於氧氣：$^{16}{\text{O}}:15.994915{\text{ amu}}$

對於碳：$^{12}{\text{C}}:12.000000{\text{ amu}}$

$\mu ={\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

其中，

$\mu$ 是約化質量 $({\text{kg}})$

$m_{1}$ 是精確質量 1 $({\text{amu}})$

$m_{2}$ 是精確質量 2 $({\text{amu}})$

${\text{amu}}=1.66054{\text{ x}}10^{-27}{\text{kg}}$

公式 4：重新排列公式 2 以求解力常數。

$k=4\pi ^{2}v_{0}^{2}c^{2}\mu$

CO 的基頻透過紅外光譜法使用公式 1 確定

$v_{0}=\left({\frac {2176.206896{\text{ cm}}^{-1}-2122.41379{\text{ cm}}^{-1}}{2}}\right)+2122.41379{\text{ cm}}^{-1}=2149.310343{\text{ cm}}^{-1}$

CO 的約化質量透過公式 3 計算

$\mu ={\frac {15.994915{\text{ amu}}\cdot 12.000000{\text{ amu}}}{15.994915{\text{ amu}}+12.000000{\text{ amu}}}}=6.856208708{\text{ amu}}\cdot (1.66054{\text{ x}}10^{-27}{\text{kg/amu}})=1.13850088{\text{ x}}10^{-26}{\text{ kg}}$

CO 的力常數透過公式 4 計算

$k=4\pi ^{2}\left(2149.310343{\text{ cm}}^{-1}\cdot \left({\frac {100{\text{ cm}}}{1{\text{ m}}}}\right)\right)^{2}(2.998{\text{ x}}10^{8}{\text{ m/s}})^{2}(1.13850088{\text{ x}}10^{-26}{\text{ kg}})=1886.184688{\text{ N/m}}$

$k=1.886184688{\text{ kN/m}}$

答案：使用紅外光譜法測定一氧化碳的力常數為1.87 kN/m。