量子化學/示例 24

寫一個問題及其解決方案，展示粒子位於方形盒子基態的左下象限的機率。

背景資訊

方框中的粒子 (2D)

方框中的粒子模型是指一個粒子被限制在一個二維盒子的特定區域內。

對於這個模型，我們考慮一個粒子，它可以在 x,y 維度內自由移動，

但不能存在於二維盒子的外部，因為在那裡它會

具有無限的勢能。

勢能條件為 $\nu ={\begin{Bmatrix}\infty ,&x<0,y<0\\0,&0\leq x,y\leq L\\\infty ,&x,y>L\end{Bmatrix}}$，這意味著粒子在盒子的壁內度過了 100% 的時間。

由於方框中的粒子是一個二維模型，因此波函式必須考慮 x 和 y 方向；$(\Psi (x,y))$

方框中的粒子的波函式 $\Psi (x,y)={\frac {2}{L}}sin\left({\frac {n_{x}\pi }{L}}x\right)\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}y\right)\cdot {\frac {2}{L}}sin\left({\frac {n_{x}\pi }{L}}x\right)\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}y\right)$

量子系統所處的狀態由量子數 $n_{x},n_{y}$ 定義。

在量子能級中，只有離散的能級是可能的。在這個模型中，粒子不能靜止，這意味著最低可能的能級必須是非零的 (n=1)。由於粒子即使在基態也始終處於運動狀態，因此粒子具有非零能級。因此，方框中的粒子基態為 $n_{x}=1,n_{y}=1$。在量子力學系統中，存在節點，在二維模型中，基態以上的態存在節點線，將方框分割開。隨著量子數的增加，節點線的數量也增加，因為 $Nnodallines=n_{x},_{y}-1$。波函式的符號在節點之間發生變化，並在節點上值為零。

機率分佈

可以透過對機率分佈 (P(x)) 進行積分來找到粒子位於某個區間的機率 (P)

找到粒子位於範圍 $\left[a_{1},a_{2}\right]$，$\left[b_{1},b_{2}\right]$ 的機率由以下公式給出：$P=\int \limits _{a_{1}}^{a_{2}}\int \limits _{b_{1}}^{b_{2}}P(x,y)dxdy$

粒子的機率分佈是波函式的平方。

對於二維空間中的一個粒子（盒子中的粒子）

$P(x,y)=\left\vert \Psi (x,y)^{2}\right\vert =\Psi (x,y)^{*}\cdot \Psi (x,y)$ ，其中 * 是波函式的複共軛。

因此，在一個範圍內找到粒子的機率可以重新寫成

$P=\int \limits _{a_{1}}^{a_{2}}\int \limits _{b_{1}}^{b_{2}}\Psi ^{*}{\bigl (}x,y)\Psi {\bigl (}x,y)dxdy$

示例

問題：對於一個邊長為 L 的正方形中的粒子，如果粒子處於基態，那麼在左下象限找到該粒子的機率是多少？

解題

如果粒子位於左下象限，則它位於區間內：$x=\left[0,{\frac {L}{2}}\right]$ $y=\left[0,{\frac {L}{2}}\right]$

因此，機率密度為

$P=\int \limits _{0}^{\tfrac {L}{2}}\int \limits _{0}^{\tfrac {L}{2}}\Psi ^{*}{\bigl (}x,y)\Psi {\bigl (}x,y)dxdy$

正方形中粒子的波函式為

$\Psi (x,y)={\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi }{L}}x\right)\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}y\right)\cdot {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi }{L}}x\right)\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}y\right)$

在基態 $n_{x}=1$ $n_{y}=1$ ，因此機率分佈可以寫成

$P=\int \limits _{0}^{\frac {L}{2}}\int \limits _{0}^{\frac {L}{2}}{\biggl (}{2 \over L}{\biggr )}\sin \left({\frac {\pi }{L}}x\right)\sin \left({\frac {\pi }{L}}y\right)\centerdot {\biggl (}{2 \over L}{\biggr )}\sin \left({\frac {\pi }{L}}x\right)\sin \left({\frac {\pi }{L}}y\right)dxdy$

然後求解積分，

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right)\int _{0}^{\frac {L}{2}}\int _{0}^{\frac {L}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{L}}x\right)\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{L}}y\right)dxdy$

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right)\int _{0}^{\frac {L}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{L}}x\right)dx\cdot \int _{0}^{\frac {L}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{L}}y\right)dy$

從積分表 $\int \sin ^{2}(ax)dx={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin(2ax)}{4a}}$

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right)\left[{\frac {y}{2}}-{\frac {\sin {\bigl (}2{\frac {\pi }{L}}y{\bigr )}}{4\left({\frac {\pi }{L}}\right)}}\right]_{0}^{L}\left[{\frac {x}{2}}-{\frac {\sin {\bigl (}2{\frac {\pi }{L}}x{\bigr )}}{4\left({\frac {\pi }{L}}\right)}}\right]_{0}^{L}$

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right){\Biggl (}{\frac {\frac {L}{2}}{2}}-{\frac {L\sin {\bigl (}2{\frac {\pi }{L}}{\frac {L}{2}}{\bigr )}}{4\left(\pi \right)}}{\Biggr )}{\Biggl (}{\frac {\frac {L}{2}}{2}}-{\frac {L\sin {\bigl (}2{\frac {\pi }{L}}{\frac {L}{2}}{\bigr )}}{4\left(\pi \right)}}{\Biggr )}$

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right){\Biggl (}{\frac {L}{4}}-{\frac {L\sin {\bigl (}\pi {\bigr )}}{4\left(\pi \right)}}{\Biggr )}{\Biggl (}{\frac {L}{4}}-{\frac {L\sin {\bigl (}\pi {\bigr )}}{4\left(\pi \right)}}{\Biggr )}$

由於 $\sin \pi$ 為零，整個項變為零

$P=\left({\frac {4}{L^{2}}}\right){\Biggl (}{\frac {L}{4}}-0{\biggr )}{\Biggl (}{\frac {L}{4}}-0{\Biggr )}$

$P={\frac {4}{8}}$

$P={\frac {1}{4}}$

因此，在基態下，找到一個粒子處於正方形左下象限的機率為 0.25 或 25%。