量子化學/例 26

氫原子的角動量的平方被測量為 $L^{2}$$=20\hbar ^{2}$.  對於這個原子，軌道角動量的 z 分量的可能測量值是多少，$L_{z}$?

解

對於量子力學系統（如氫原子中的電子），角動量算符平方的特徵值（${\hat {L}}$²) 由下式給出

${\hat {L}}^{2}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=h^{2}l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

其中 $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ 是球諧函式，它們是 ${\hat {L}}$² 的特徵函式，$l$ 是軌道量子數，而 $m$ 是磁量子數。給定的 $L^{2}$ = 20 ħ2 值，因此我們建立了方程

$\hbar ^{2}l(l+1)=20\hbar ^{2}$

除以 $\hbar ^{2}$ 並簡化，我們得到

$l(l+1)=20$

$l^{2}+l-20=0$

在這個二次方程中，$l$ 可以分解為

$(l-4)(l+5)=0$

$l=4$

由於 $l$ 必須是非負整數，因此磁量子數 $m$ 可以取從 $-l$ 到 $l$ 的任何整數值，因此對於 $l=4$，$m$ 可以是

$m=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$

角動量的 z 分量，$L_{z}$，是量子化的，以 $\hbar ^{2}$ 為單位，由下式給出

$L_{z}=m\hbar$

$L_{z}=-4\hbar ,-3\hbar ,-2\hbar ,-1\hbar ,0\hbar ,1\hbar ,2\hbar ,3\hbar ,4\hbar$.

因此，對於給定 $L^{2}$$=20\hbar ^{2}$ 原子的軌道角動量 z 分量 $L_{z}$ 的可能值是 $L_{z}=-4\hbar ,-3\hbar ,-2\hbar ,-1\hbar ,0\hbar ,1\hbar ,2\hbar ,3\hbar ,4\hbar$.