量子化學/例 28

問題

對於一個在邊長為 6.00 Å 的 3D 立方體中的電子，請問

(a) the energy of its state?
(b) the degeneracy of this energy state?
(c) the total number of nodal planes for a particle in the ${n_{\text{x}}}=4$, ${n_{\text{y}}}=5$, and ${n_{\text{z}}}=3$?

解決方案

(a) 必須知道電子的質量才能確定粒子的能量。為了確定 3D 盒中電子的能級，必須使用與所有變數都用 SI 單位表示的方程來表示粒子在立方體中的能級。已知電子的質量為 ${9.1093837{\text{×}}10^{-31}{\text{kg}}}$. 普朗克常數已知為 ${6.62607015{\text{×}}10^{-34}{\text{m²·kg·s⁻¹}}}$. 盒子的長度為 ${6.00{\text{x}}10^{-10}{\text{m}}}$，因為已知一埃為 $10^{-10}{\text{m}}$. 可以透過以下方法計算立方體中電子的能量，

${E}=\left({\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}\right)\left({n_{\text{x}}^{2}+n_{\text{y}}^{2}+n_{\text{z}}^{2}}\right)$

${E}=\left({\frac {\left(6.62607015{\text{×}}10^{-34}{\text{m²·kg·s⁻¹}}\right)^{2}}{8{\text{×}}\left(9.1093837{\text{×}}10^{-31}{\text{kg}}\right){\text{×}}\left(6.00{\text{x}}10^{-10}{\text{m}}\right)^{2}}}\right)\left({{4^{2}}+{5^{2}}+{3^{2}}}\right)$

${E}=\left(1.68{\text{×}}10^{-19}{\text{J}}\right)\left(50\right)$

${E}=8.38{\text{×}}10^{-18}{\text{J}}$

(b) 簡併性被定義為一個具有相同能量的能級，與具有不同量子數集的粒子相同。在本題中，簡併態的能量必須等於以下值，

${E}=\left({\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}\right)\left({{4^{2}}+{5^{2}}+{3^{2}}}\right)=\left({\frac {50h^{2}}{8mL^{2}}}\right)$

為了確定系統的簡併性，最簡單的方法是使用矩陣，以確保遵循系統化的過程。在本例中，所有量子數的平方和必須等於 50。因此，矩陣如下，

${n_{\text{x}}}$	${n_{\text{y}}}$	${n_{\text{z}}}$	${n_{\text{x}}^{2}+n_{\text{y}}^{2}+n_{\text{z}}^{2}}$
4	5	3	4² + 5² + 3² = 50
4	3	5	4² + 3² + 5² = 50
5	3	4	5² + 3² + 4² = 50
5	4	3	5² + 4² + 3² = 50
3	4	5	3² + 4² + 5² = 50
3	5	4	3² + 5² + 4² = 50

因此，我們發現了6組不同的量子數，所以說這個能級是6重簡併的。

(c) 為了確定節點面的數量，我們需要分別考慮每個軸。數學上，為了計算與x軸相關的節點面數量，我們需要使用以下公式：

${N_{\text{nodal planes x-axis}}=n_{\text{x}}-1}$

所以，在這個例子中，x軸的節點面數量是：

${N_{\text{nodal planes x-axis}}=4-1=3}$

同樣地，對於y軸和z軸，節點面數量分別為：

${N_{\text{nodal planes y-axis}}=n_{\text{y}}-1=5-1=4}$

${N_{\text{nodal planes z-axis}}=n_{\text{z}}-1=3-1=2}$

所以，這個體系的節點面總數是9。這個數字是透過將每個軸的節點面數量加在一起得到的。