量子化學/示例 29

量子力學諧振子波函式

圍繞平衡點進行諧波運動的系統稱為諧振子。

在量子化學中，諧振子指的是一個簡化模型，通常用來描述雙原子分子是如何振動的。這是因為它表現得像兩個連線在彈簧上的質量，其勢能取決於偏離平衡點的位移，但能級是量子化的並且等間距。勢能$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$不為零，理論上可以從$x=[-\infty {\text{ , }}\infty ]$變化。

量子諧振子的波函式由乘以高斯函式的厄米多項式給出。波函式的一般形式是

$\psi _{v}=N_{v}\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {mw}{\hbar }}}x\right)\cdot \exp \left({\frac {-mw}{2\hbar }}x^{2}\right)$

其中

$v={\text{量子數}}$

$N_{v}={\text{歸一化因子}}$

$H_{v}=v{\text{-th 厄米多項式}}$

前四個厄米多項式是

${\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x.\\\end{aligned}}$

$m={\text{粒子質量}}$

$w={\text{振子的角頻率}}$

$\hbar ={\text{約化普朗克常數}}$

$x={\text{位置}}$

波函式的歸一化

找到粒子在任何狀態的機率由波函式的平方給出。因此，在量子力學中歸一化波函式意味著確保在所有可能位置找到粒子的總機率等於 1。歸一化的波函式是滿足歸一化條件的波函式

$\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi (x)\mid ^{2}dx=1$

歸一化很重要，因為它確保在空間中找到粒子的機率為 100%。

示例

從非歸一化波函式開始，展示諧振子 v=1 狀態的歸一化因子的推導。

$\psi _{v}=N_{v}\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {mw}{\hbar }}}x\right)\cdot \exp \left({\frac {-mw}{2\hbar }}x^{2}\right)$

$N_{v}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }H_{v}^{2}\left({\sqrt {\frac {mw}{\hbar }}}x\right)\cdot \exp \left({\frac {-mw}{\hbar }}x^{2}\right)dx=$

${\text{Let }}y=\left({\sqrt {\frac {mw}{\hbar }}}\right)x$

$N_{v}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }H_{v}(y)H_{v}(y)\cdot \exp \left(-y^{2}\right){\sqrt {\frac {\hbar }{mw}}}dy=$

$N_{v}^{2}{\sqrt {\frac {\hbar }{mw}}}(-1)^{v}\int _{-\infty }^{\infty }H_{v}(y){\frac {d^{v}}{dy^{v}}}\exp \left(-y^{2}\right)dy=$

$N_{v}^{2}{\sqrt {\frac {\hbar }{mw}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-y^{2}){\frac {d^{v}}{dy^{v}}}H_{v}(y)dy=$

$N_{v}^{2}{\sqrt {\frac {\hbar }{mw}}}2^{v}v!{\sqrt {\pi }}=$

$N_{v}={\frac {1}{\sqrt {2^{v}v!}}}\left({\frac {mw}{\pi \hbar }}\right)^{1/4}$

代入 v=1

$N_{1}={\frac {1}{\sqrt {2^{1}1!}}}\left({\frac {mw}{\pi \hbar }}\right)^{1/4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {mw}{\pi \hbar }}\right)^{1/4}$

檢查

證明 $\psi _{1}$ 是歸一化的（使用課堂上的符號）

$\psi _{1}=\left({\frac {4\alpha ^{3}}{\pi }}\right)^{1/4}x\exp \left({\frac {-\alpha x^{2}}{2}}\right)$，其中 $\alpha =\left({\sqrt {\frac {k\mu }{\hbar ^{2}}}}\right)$

$\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi _{1}\mid ^{2}dx=\left({\frac {4\alpha ^{3}}{\pi }}\right)^{1/2}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\exp ^{-\alpha x^{2}}dx=\left({\frac {4\alpha ^{3}}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{2\alpha }}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{1/2}\right)=1$