量子化學/示例 31

寫一個與電磁輻射波長、頻率、能量和波數之間的轉換相關的示例問題。詳細說明每個步驟並解釋轉換。

示例：一氧化碳在其紅外光譜中在 2143 cm^-1 處顯示一個尖峰。

a) 計算分子的振動頻率和波長。

示例給出了波數，可以透過以下公式將其轉換為頻率

$\nu ={\tilde {\nu }}\times c$

其中 $\nu$ 是頻率，${\tilde {\nu }}$ 是波數，c 是光速。

$\nu ={\tilde {\nu }}\times c$

$\nu =(2143cm^{-1})\times (2.99792458\times 10^{10}cm/s)$

$\nu =6.4245237484\times 10^{13}s^{-1}$

$\nu =64.24THz$

要找到振動的波長，我們可以使用以下公式

${\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$

其中 $\lambda$ 是波長。

${\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$

這個公式可以重新排列以求解波長

$\lambda ={\frac {1}{\tilde {\nu }}}$

$\lambda ={\frac {1}{2143cm^{-1}}}$

$\lambda =4.666356\times 10^{-4}cm$

這應該轉換為 nm，因為波長通常以 nm 表示。

$\lambda =4.666356\times 10^{-4}cm\times {1nm \over (1\times 10^{-7}cm)}$

$\lambda =4.6\times 10^{3}nm$

b) 計算一氧化碳在其基態的能量。

要找到分子在其基態的能量，我們可以使用以下公式

$E=h\nu _{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

其中 E 是能量，h 是普朗克常數，$v_{0}$ 是基態的頻率，$v$ 是能級的量子數。

由於一氧化碳的振動表現為諧振子，所以我們可以使用這個公式。

$E=h\nu _{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

$E=h(6.424\times 10^{13}s^{-1})$${\biggl (}0+\left({\frac {1}{2}}\right){\Biggr )}$

$E=2.12847674\times 10^{-20}J$

c) 計算將電子從基態激發到高2個能級的光子的波長。

在這種情況下，量子數 v 等於 2。我們可以使用與 b) 中相同的公式來首先求解由光子引起的能量變化。

$E=hv_{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

$E=h(6.424\times 10^{13}s^{-1})$${\biggl (}2+\left({\frac {1}{2}}\right){\Biggr )}$

$E=1.06423837\times 10^{-19}J$

現在我們已經找到了能量變化，我們可以使用以下公式來計算光子的波長

$E=\left({\frac {hc}{\lambda }}\right)$

重新排列公式以求解 λ

$\lambda =\left({\frac {hc}{E}}\right)$

$\lambda =\left({\frac {hc}{1.06423837\times 10^{-19}J}}\right)$

$\lambda =0.0001866542cm$

將波長轉換為 nm。

$\lambda =0.0001866542cm\times \left({\frac {1nm}{1\times 10^{-7}cm}}\right)$

$\lambda =1.86\times 10^{-6}nm$

因此，能夠引起從基態到 v = 2 躍遷的光子必須具有 1.86 * 10^-6 nm 的波長。