量子化學/示例 34

計算氫原子從 n=2 ℓ =1 m_ℓ =-1 狀態躍遷到 n=2 ℓ =1 m_ℓ =1 狀態在 1 T 磁場中的波數。

答案

首先，需要氫原子在磁場中的能量方程。氫原子在磁場中的能量可以表示如下

$E=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n^{2}}}+\beta _{B}m_{l}B_{z}$

其中 E 是以焦耳表示的能量，m_e 是以 kg 表示的電子質量，e 是以庫侖 “C” 表示的電子電荷，ε₀ 是以 F/m 表示的真空介電常數，h 是以 J·s 表示的普朗克常數，n 是主量子數。在方程的另一半中，考慮磁量子數，B_z 是以特斯拉 “T” 表示的磁場，m_l 是磁量子數，β_B 是以 J/T 表示的玻爾磁子，它可以透過以下公式計算

$\beta _{B}={\frac {|e|\cdot \hbar }{2m_{e}}}={\frac {|1.6022\times 10^{-19}C|\cdot 1.0546\times 10^{-34}J\cdot s}{2(9.1094\times 10^{-31}kg)}}=9.2740\times 10^{-24}J/T$

因此，使用前面提到的氫原子能量方程，躍遷能量，即能量差“∆E”，可以表示如下

$\Delta E=E_{upper}-E_{lower}=(-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n_{upper}^{2}}}+\beta _{B}m_{l,upper}B_{z})-(-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n_{lower}^{2}}}+\beta _{B}m_{l,lower}B_{z})$

如果我們回到問題中，我們可以注意到量子數“n”沒有變化，因為在兩種狀態下“n=2”。此外，如果我們看能量方程的第一項，我們可以看到它除了量子數“n”之外都是常數。因此，由於兩種狀態下的“n”相同，這兩項可以相互抵消。因此，方程變為

$\Delta E=\beta _{B}m_{l,upper}B_{z}-\beta _{B}m_{l,lower}B_{z}$

因此，代入後

$\Delta E=\beta _{B}m_{l,upper}B_{z}-\beta _{B}m_{l,lower}B_{z}=\beta _{B}B_{z}(m_{l,upper}-m_{l,lower})=9.27\times 10^{-24}J\cdot T^{-1}(1T)[1-(-1)]=9.27\times 10^{-24}J\cdot T^{-1}(1T)(2)=1.85\times 10^{-23}J$

然後，我們可以將能量轉換為波數

$E=hc{\tilde {\nu }}\Longrightarrow {\tilde {\nu }}={\frac {E}{hc}}={\frac {1.85\times 10^{-23}J}{6.626\times 10^{-34}Js(3.00\times 10^{8}m/s)}}=93.3m^{-1}=0.933cm^{-1}$

這個值是合理的，因為躍遷的能量/波數之間的差異通常很小。用於該問題躍遷的儀器是電子順磁共振 (EPR) 光譜儀，這是一種著名的光譜型別，它測量電磁輻射的吸收，但它使用磁場來測量，它會將磁場施加到不成對的電子上。EPR 光譜專門測量微波輻射的吸收，微波輻射大約在 ~0.1-10.0cm^-1 的範圍內。因此，答案是有意義的。