量子化學/示例 4

問題

在一個一維盒子裡，一個電子從高能級躍遷到低能級，併發射出一個光子。如果一維盒子的長度為 1.0 釐米，並且量子數躍遷為 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ ，那麼發射出的光子的電磁輻射頻率是多少？

解答

在一個一維盒子中，粒子在特定量子數 ( ${E_{n}}$ ) 時的能級為：

$E_{n}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n^{2}}$

其中 $h$ 等於普朗克常數 (6.62607015 x 10^-34 J $\cdot$ s)， $n$ 等於量子數 ( $n$ = 1, 2, 3, ...), $m$ 等於粒子的質量， $L$ 等於一維盒子的長度。對於電子，質量等於 9.10938356 x 10^-31 kg。

由於 ${E_{n}}\propto {n^{2}}$ （假設質量和盒子長度是恆定的），當量子數增加一倍時，能級增加四倍。因此，如果一個粒子在一個一維盒子裡經歷了一個能級躍遷，那麼初始量子數和最終量子數的能級之間會存在差異。經歷過能級躍遷的一維盒子中的粒子的能級差 ( $\Delta {E}$ ) 為：

$\Delta {E}={E_{n_{f}}}-{E_{n_{i}}}$

$=\left[{\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n_{f}^{2}}\right]-\left[{\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n_{i}^{2}}\right]$

$\Delta {E}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{({n_{f}^{2}}-{n_{i}^{2}}})$

其中 $n_{f}$ 等於最終量子數，而 $n_{i}$ 等於初始量子數。

如果 $n_{f}>n_{i}$ ， $\Delta {E}$ 為正值；光子被吸收。

如果 $n_{f}<n_{i}$ ， $\Delta {E}$ 為負值；光子被髮射。

因此，一個長度為 1.0 釐米的一維盒中電子在經歷了 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 躍遷後的能級差為：

${\displaystyle \Delta {E}=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ J}}{\text{ s}})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({2}^{2}-{3}^{2}})=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ m}}^{2}{\text{ kg}}{\text{ s}}^{-1})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({2}^{2}-{3}^{2}})}">$

$\Delta {E}=-3.01\times 10^{-33}{\text{ J}}$

經歷 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 躍遷的電子的能級差為 -3.01 × 10^-33 J。由於 $n_{f}<n_{i}$ ，電子發射了 3.01 × 10^-33 J 的能量。如果電子經歷了 $n_{{2}\rightarrow {3}}$ 躍遷，電子將吸收與從 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 躍遷發射的能量相同的能量，即 3.01 × 10^-33 J。

$\Delta {E}=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ m}}^{2}{\text{ kg}}{\text{ s}}^{-1})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({3}^{2}-{2}^{2}})=3.01\times 10^{-33}{\text{ J}}$