量子化學/示例 5

對於一個處於長度為 5 釐米的一維盒中的粒子（假設粒子是一個具有 1 個量子數的電子），一維盒中粒子的能級方程為：

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

a. 如果一維盒的長度增加到 10 釐米，盒中該粒子的能級變化是多少？

b. 如果一維盒的長度減少到 2 釐米，盒中該粒子的能級變化是多少？

c. 解釋長度變化對一維盒中粒子的能級的影響。

解決方案

一維盒中粒子的能級

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

其中 h 是普朗克常數，等於 $6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}}$

由於該粒子是一個具有 1 個量子數的電子

m 是該粒子的質量，等於 $9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}}$

n 是該粒子的量子數，等於 1

L 是該一維盒的長度，等於 $5{\text{ cm}}$

對於這個問題，

$\Delta {E}=E_{nf}-E_{ni}$

$=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}{\frac {1}{L_{f}^{2}}}\right]-\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

a. 對於 a 部分，該一維盒的初始長度：$L_{i}=5{\text{ cm}}=5\times 10^{-2}{\text{ m}}$，該一維盒的最終長度：$L_{f}=10{\text{ cm}}=10\times 10^{-2}{\text{ m}}$

$\Delta {E}=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {(6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}})^{2}(1)^{2}}{(8)(9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}})}}\right]\left[{\frac {1}{(10\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}-{\frac {1}{(5\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}\right]$

$=-1.807\times 10^{-35}{\text{ J}}$

b. 對於部分 b，此一維盒子的初始長度：$L_{i}=5{\text{ cm}}=5\times 10^{-2}{\text{ m}}$，此一維盒子的最終長度：$L_{f}=2{\text{ cm}}=2\times 10^{-2}{\text{ m}}$

$\Delta {E}=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {(6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}})^{2}(1)^{2}}{(8)(9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}})}}\right]\left[{\frac {1}{(2\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}-{\frac {1}{(5\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}\right]$

$=1.265\times 10^{-34}{\text{ J}}$

c. 根據部分 a 和 b 的計算結果，一維盒子中粒子的能級隨著一維盒子長度的增加而降低，而隨著一維盒子長度的減小而升高。因此，一維盒子中粒子的能級與一維盒子的長度呈負相關。