量子化學/示例 6

使用以下公式計算 H、He⁺ 和 Li²⁺ 的基態能量，$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$，然後得出增加原子序數對基態能量影響的結論。

解決方案

使用薛定諤方程（ĤΨ=EΨ）求解了氫原子的波函式。從薛定諤方程，也可以確定氫原子量子態的能量，因為能量是薛定諤方程的特徵值。氫原子每個能級能量的方程式如下：

能級能量 $E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

在上述公式中，Z 是核電荷，m_e（9.10938356 x 10^-31 kg）是電子的質量，e（1.60217662 x 10^-19 C）是基本電荷，ε₀（8.8541878128 x 10^-12 Fm^-1）是真空介電常數，ħ 是約化普朗克常數，n 是主量子數。

氫原子的波函式可以擴充套件到任何只有一個電子的原子。任何只有一個電子的原子都將具有與氫原子相同的能級的電子，因為電子必須先被放置在較低能級，然後再放置在較高能級。氫和其他只有一個電子的原子之間的唯一區別是原子核和電子之間的吸引力。由於 He⁺ 和 Li²⁺ 等其他原子在它們的原子核中具有更多的質子，導致電子對原子核的庫侖吸引力更大，從而影響軌道大小。結果，基態能量將在具有不同核電荷的單電子系統之間有所不同。

可以透過計算 H、He⁺ 和 Li²⁺ 的基態能量，並觀察能量之間的差異來證明這一點。從計算氫的基態開始，其中 Z=1，n=1。

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(1)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-2.17987225\times 10^{-18}{\text{J}}$

$1{\text{eV}}=1.602176634\times 10^{-19}{\text{J}}$

$E=-13.60569243{\text{eV}}$

$1{\text{Hartree}}=4.359744722207185\times 10^{-18}{\text{J}}$

$E=-0.5{\text{Hartree}}$

然後對於 He⁺，其中 Z=2，n=1。

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(2)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-8.71948901\times 10^{-18}{\text{J}}$

$E=-54.42276978{\text{eV}}$

$E=-2{\text{Hartree}}$

最後對於Li²⁺，其中Z=3，n=1，

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(3)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-1.96188503\times 10^{-17}{\text{J}}$

$E=-122.4512322{\text{eV}}$

$E=-4.5{\text{Hartree}}$

氫原子的基態能量等於-0.5 Hartree，He⁺為-2 Hartree，Li²⁺為-4.5 Hartree。能量以非線性方式增加，這可以歸因於分子中的Z²項。這意味著隨著Z的增加，電離一個電子原子將需要更多的能量。