量子化學/示例 8

寫一個問題及其解決方案，定量地證明海森堡不確定性原理適用於量子剛性轉子的 J=0 狀態

背景資訊

剛性轉子模型

示例分子 HCl 的剛性轉子模型

在量子化學中，剛性轉子模型用於描述分子的旋轉，例如 HCl。剛性轉子模型中使用的假設是，旋轉的分子是剛性的，並且分子中自然發生的鍵長變化（例如振動）與鍵長 r_e 相比微不足道，因此可以忽略不計。

系統的總能量是勢能和動能的總和。給定剛性轉子鍵長是恆定的假設，剛性轉子的勢能為 0。因此，系統的總能量等於 KE，它等於角動量。 線性剛性轉子模型（例如 HCl）的能級 (E_J) 由以下公式給出

$E_{J}={\frac {\hbar }{2I}}J(J+1)$

其中 I 是慣性，基於雙原子和鍵長的摺合質量，J 是量子能級。

摺合質量的剛性轉子模型

剛性轉子模型是三維的，為了便於計算，而不是使用兩組質量（m₁ 和 m₂），而是使用一個摺合質量 (μ)。

在剛性轉子的球形模型中，有兩個變數用於確定位置，即角度 θ 和 ϕ，因為 r 是恆定的鍵長 r_e。

因此，摺合質量的位置由波函式給出

$Y(\theta ,\varphi )$

海森堡不確定性原理

海森堡不確定性原理指出，在給定的時間點無法確定粒子的確切位置和動量，並且越精確地確定其中一個，另一個就越不確定。

但是，即使不能在給定時刻計算出確切的位置和動量，它們也可以關聯起來，這種關係是：

$\bigtriangleup \phi \bigtriangleup L_{z}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

其中 $\hbar$ 是約化普朗克常數，$\bigtriangleup \phi$ 是位置的不確定度，$\bigtriangleup L_{z}$ 是動量的不確定度。

然而，在剛性轉子模型中，此公式不適用。海森堡不等式被重新計算：

$\bigtriangleup \phi \bigtriangleup L_{z}\geq {\frac {1}{2}}|<[L_{z},\phi ]>|={\frac {\hbar }{2}}[1-2\pi |\psi (0)^{2}]$

$\bigtriangleup \phi \bigtriangleup L_{z}\geq {\frac {\hbar }{2}}[1-2\pi |\psi (0)^{2}]$

示例

問題：在 J=0 時使用剛性轉子模型，角動量和位置是多少？剛性轉子在 J=0 時遵循海森堡原理嗎？

在基態零點，J = 0，因此剛性轉子的能級為 0。

已知能量為 0，則角動量已知（L_z = 0）。

可以使用波函式獲得位置的機率密度

位置的平均值為 0，因此可以計算方差

$\delta \phi ={\sqrt {<\varphi ^{2}>-<\varphi >^{2}}}$

$<\varphi >=\int _{0}^{2\pi }(Y^{*})(\varphi )(Y)d\varphi$

Y = $i^{m+|m|}{\sqrt {{\frac {2J+1}{2}}{\frac {(J-|m|)!}{(J+|m|)!}}}}.P_{0}^{0}cos(\theta )$

當 m=0 J=0 時

Y = ${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}$

$\langle \varphi \rangle =\int _{0}^{2\pi }({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})(\varphi )({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})d\varphi$

$\langle \varphi \rangle =({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})^{2}\int _{0}^{2\pi }(\varphi )d\varphi$

$\langle \varphi \rangle =({\frac {1}{4\pi }})2\pi ^{2}={\frac {\pi }{2}}$

$\langle \varphi \rangle ^{2}={\frac {\pi ^{2}}{4}}$

$\langle \varphi ^{2}\rangle =\int _{0}^{2\pi }(Y^{*})(\varphi )^{2}(Y)d\varphi$

$\langle \varphi ^{2}\rangle =\int _{0}^{2\pi }({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})(\varphi ^{2})({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})d\varphi$

$\langle \varphi ^{2}\rangle =({\frac {1}{\sqrt {4\pi }}})^{2}\int _{0}^{2\pi }(\varphi ^{2})d\varphi$

$\langle \varphi ^{2}\rangle =({\frac {1}{4\pi }}){\frac {8\pi ^{3}}{3}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}$

$\delta \phi ={\sqrt {<\varphi ^{2}>-<\varphi >^{2}}}={\sqrt {{\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}}=\pm {\frac {\sqrt {15}}{6}}\pi$

如果 $\delta \phi$ 在球體上繪製

其中 m = J 和 -J 之間的整數。

|m| = 經向節點的數量

J = 緯向節點的數量

在基態，J = 0，|m| = 0。因此，位置機率均勻分佈在球體上。

在 J=0 時，

${\frac {\hbar }{2}}[1-2\pi |\psi (0)^{2}]=0$

因此

$\Delta \phi \cdot \Delta L_{z}\geq {\frac {\hbar }{2}}[1-2\pi |\psi (0)^{2}]$

$(\pm {\frac {\sqrt {15}}{6}}\pi )(0)\geq 0$

滿足

因此，這表明在基態，J=0 時，剛性轉子模型遵循海森堡不確定性原理。

參考文獻

Anderson, J.M. 量子化學導論，1969 年，W.A. Benjamin, Inc，第 91-100 頁。

Fayngold & Fayngold，量子力學與量子資訊，第 384-388 頁。