量子化學/示例 9

編寫一個計算2s軌道中電子節點位置的問題及其解答。

問題

問題是找到氫原子2s電子徑向節點的位置。要找到節點，可以從分析一般情況下在2s電子體系中應該期望看到多少個節點開始。有兩個方程給出軌道中存在的節點數，即角節點方程和徑向節點方程。

1. 徑向節點

$n-\ell -1=n_{r}$

2. 角節點

$\ell =n_{a}$

因此，必須確定ℓ，根據表1資料，可以確定ℓ等於0。n等於$n$，即2，這來自軌道型別前的數字，它告訴您主量子數。

表 1：軌道和量子數

軌道	角 動量 量子 數 (ℓ)
s	0
p	1
d	2
f	3

那麼有多少個節點呢？

首先分析角節點的數量

$\ell =n_{a}$

$0=n_{a}$

因此，角節點的數量為0。

徑向節點

$n_{r}=n-\ell -1$

$n_{r}=2-0-1$

$n_{r}=1$

因此，2s軌道中存在一個徑向節點，導致問題變成該徑向節點在哪裡？

波函式

現在接下來的主要步驟是確定描述2s電子這種情況的波函式。波函式可以在網上找到，它是$:^{1}$

$\psi _{2s}={\frac {1}{4(2\pi )^{\frac {1}{2}}}}\left({\frac {1}{a_{0}}}\right)^{3/2}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right){\text{e}}^{-r/(2a_{0})}$

在該方程中，$\psi _{2s}$是2s電子的波函式，r是半徑，$a_{0}$是玻爾半徑。

根據方程式，我們可以求解電子的位置。最好的方法是找到方程式等於零的位置，以及導致這種情況的包含位置的項。第一部分${\frac {1}{4(2\pi )^{\frac {1}{2}}}}$是一個常數，因此不會隨電子的半徑（即位置）發生變化。所以，唯一會隨電子位置變化的是𝒓項。對於${\text{e}}^{-r/(2a_{0})}$，𝒓項可以是任何數值，除非𝒓接近無窮大，否則該項不會為零，而$\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)$可能等於零，因為它減去了位置項。因此，可以將此項設定為零並求解𝒓。

$0=2-{\frac {r}{a_{0}}}$

$2={\frac {r}{a_{0}}}$

$2a_{0}=r$

因此，我們得到了徑向節點位置的解，即𝒓$=2a_{0}$，所以當𝒓$=2a_{0}$時，電子位於原子核周圍任何位置的機率都為0，從而形成一個節點。$a_{0}$的長度為52.9 pm，這意味著節點距離原子核的半徑為105.8 pm。

結論

總之，尋找軌道中電子節點的問題，其解決方法歸結為：首先找到理論節點的數量，然後確定波函式，分析波函式的變數並求解0。完成所有這些步驟後，您將得到徑向節點位置的解。還可以解決其他問題，因為它們是後續問題，在找到節點後更容易解決，例如電子在其最可能狀態下的位置。這個問題遵循以下解決方案：排列P=$\psi _{2s}$$\left(\psi _{2s}^{*}\right)$$\left(r^{2}\right)$，然後求波函式的導數並進行簡化。最後一步是找到零點，其中𝒓等於零，這將給出電子最可能的位置。找到節點位置的實際應用有助於理解軌道的運作方式，這有助於建立分子軌道圖和SALC，可用於確定原子和分子鍵合的方式。其他應用包括理解鍵和軌道的能級，以預測分子和原子之間可能的相互作用，用於研究目的和化學工程。

參考文獻

1) Branson, J. 徑向波函式解。 https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node233.html（訪問日期：2021年11月16日）。

作者：Dmitry Ivanov