量子化學/變數替換積分

在計算積分時，使用“變數替換” (或代換) 技術可以將複雜積分的形式 $\int f(g(x))g'(x)dx$ 轉換為更簡單的函式。該技術透過引入一個新變數 $u$ 來替代 $g(x)$ 來簡化積分。當積分包含具有已知導數的函式，或容易計算導數時，此方法最有效，因為該過程利用了鏈式法則。變數替換技術的通用步驟如下：

1. 選擇你的代換，$u=g(x)$：識別要積分的函式中你想用變數 $u$ 替換的那一部分。被替換的部分應該有一個導數，$du$，它與積分的其餘部分相似（即一個倍數）。
2. 計算導數，${du \over dx}=g'(x)$：找到所選函式部分相對於 $x$ 的導數，然後重新排列表達式以用 $dx$ 表示新變數 $du$ 的導數，$du=g'(x)dx$。
3. 新變數的代換：用新函式（關於 $u$ 和 $du$）替換原始函式（關於 $x$ 和 $dx$）。此步驟應該透過用 $u$ 替換原始函式的一部分，並用 $du$ 的倍數替換 $dx$ 來簡化積分。
4. 計算新的積分：用代換變數 $u$ 求解新的簡化積分。
5. 原始變數的代換：用原始函式 $u=g(x)$ 替換新變數。

示例

$\int \sin(x)\cos(x)dx$

1. 選擇你的替換，$u=g(x)$。在本例中，你應該注意到，$g(x)=\sin(x)$ 對 $x$ 的導數是積分其餘部分的倍數。因此，對於這種情況，最有效的替換是：

$u=g(x)=\sin(x)$

2. 計算導數，${du \over dx}=g'(x)$。在本例中，其中 $u=\sin(x)$，你將使用已知的導數透過三角恆等式來計算導數。然後應重新排列導數以給出 $du$ 關於 $dx$ 的表示式；

${du \over dx}=g'(x)=\cos(x)$

$du=\cos(x)dx$

3. 新變數的替換：在本例中，變數 $u$ 將替換 $\sin(x)$，而 $du$ 將替換 $\cos(x)dx$。

$\int \sin(x)\cos(x)dx=\int udu$

4. 計算你的新積分：在本例中，使用冪法則求解積分。

$\int udu={u^{2} \over 2}+C$

5. 原始變數的替換：將 $u=g(x)=\sin(x)$ 替換回函式中。

${u^{2} \over 2}+C={\sin ^{2}(x) \over 2}+C$