量子場論/經典拉格朗日場論

狹義相對論

狹義相對論是由阿爾伯特·愛因斯坦在20世紀初提出的。狹義相對論是經典力學的繼承者，經典力學基於牛頓力學，牛頓力學是由艾薩克·牛頓（顧名思義）發展起來的。經典力學在涉及速度遠小於光速的日常現象中具有良好的精度。然而，當速度接近光速時，經典力學就會失效。經典力學主要基於伽利略變換下的不變性。這告訴我們一個參考系$S$中觀察到的現象在另一個參考系$S^{\prime }$中將如何出現，該參考系相對於原始參考系$S$具有不同的速度$v$。根據伽利略變換，座標變換如下

$x^{\prime }=x-vt$

$t^{\prime }=t$

另一方面，狹義相對論基於洛倫茲變換下的不變性，

$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$

$t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^{2})$ 其中$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$。這裡，假設參考系$S$相對於$S^{\prime }$在$x$方向上具有速度。

請注意，在洛倫茲變換下，間隔$ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$ 保持不變。或者換句話說，間隔在洛倫茲變換下像標量一樣變換。時間和空間座標一起構成一個四向量$x^{\mu }=(t,\mathbf {x} )$。任何像時空座標一樣在洛倫茲變換下變換的量都被定義為四向量。除了$x^{\mu }$本身，能量動量或動量四向量$p^{\mu }=(E,\mathbf {p} )$ 也是一個四向量。四向量$x^{\mu }$ 的對偶用$x_{\mu }$ 表示。對偶向量$x_{\mu }$ 與$x^{\mu }$ 的關係為$x_{\mu }=(t,-\mathbf {x} )$。向量與對偶向量的乘積像標量一樣變換。這種乘積被稱為內積。

變分原理

作用量和拉格朗日量

在經典力學中，作用量$S$ 和拉格朗日量$L$ 之間的關係如下

$S=\int L\,dt$

這兩個量在量子場論中也有類似的定義。但是，在量子場論中，引入拉格朗日密度${\mathcal {L}}$ 通常更方便。因此，作用量也可以定義為

$S=\int {\mathcal {L}}\,d^{4}x$

變分原理

物理學中最重要原理之一，也常被稱為“駐定作用原理”或“最小作用原理”。可以以多種方式表述

1. 在所有具有給定邊界條件的場中，使作用量取極值（通常為最小值，參見最小作用原理）的場是解。
2. 作用量變分為零的場是解。

換句話說，如果$\phi$是解，我們新增一個任意的微小變化$\delta \phi$，那麼作用量（線性部分）的變化$\delta S(\phi )\equiv S(\phi +\delta \phi )-S(\phi )$會消失，$\delta S(\phi )=0$。

注意，變化$\delta \phi$不能改變$\phi +\delta \phi$的邊界條件，因此必須在邊界處消失。

還要注意的是，作用量必須是實數（僅僅是為了談論最小值），並且必須是四標量（洛倫茲不變）

尤拉-拉格朗日方程

在經典力學中，拉格朗日量$L$是正則座標$q$和正則動量${\dot {q}}$的函式。尤拉-拉格朗日方程如下

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$

然而，在量子場論中，拉格朗日量的兩個變數是場及其對應的導數$\phi$和$\partial _{\mu }\phi$。此外，量子場論將時間和空間導數視為同等地位。因此，尤拉-拉格朗日方程寫成

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }\phi \right)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

其中${\mathcal {L}}$是拉格朗日密度。

守恆電流

• 標量場的正則量子化
  • 拉格朗日量和尤拉-拉格朗日方程
  • 正常模式解
  • 產生和湮滅算符
  • 哈密頓量和對易關係