量子場論/標準模型簡介

區域性規範對稱性。規範理論。非阿貝爾規範理論。

自發對稱性破缺。戈德斯通定理。希格斯機制。

希格斯機制是一個理論框架，它關注基本粒子質量的起源；從技術上講，它提供了唯一一致的解釋，即如何透過自發電弱對稱性破缺產生 W 和 Z 玻色子的質量。更一般地說，希格斯機制是任何規範理論中的規範玻色子獲得非零質量的方式。

對於其他粒子，例如費米子，希格斯機制也可以解釋質量，同樣以規範不變的方式。

在標準模型中，希格斯機制的最簡單實現需要一個額外的希格斯場，它與規範場相互作用，並且在其最低能量狀態（真空期望值）中具有非零值。這意味著整個空間都充滿了背景希格斯場，即所謂的希格斯凝聚態。與該背景場的相互作用改變了規範場的低能譜，規範玻色子變得有質量。

希格斯場具有非平凡的自相互作用，就像墨西哥帽勢一樣，這導致自發對稱性破缺：在最低能量狀態下，勢的對稱性（包括規範對稱性）被凝聚態破壞。對場在最小值附近的小擾動的分析表明，規範玻色子和其它粒子獲得質量。在標準模型中，希格斯場是 SU(2) 雙重態，是一個具有四個實數分量的復旋量，它在標準模型 U(1) 下帶電。對稱性破缺後，希格斯場中四個自由度中的三個與 W 和 Z 玻色子混合，而剩下的一個自由度成為希格斯玻色子——一種新的標量粒子。

戈德斯通玻色子

粒子物理學中自發對稱性破缺模型的問題是，根據戈德斯通定理，它們帶有無質量的標量粒子。如果一個對稱性被凝聚態破壞，用對稱性生成器作用於凝聚態會得到具有相同能量的第二態。因此，某些振盪沒有能量，與這些振盪相關的粒子質量為零。

在標準模型中，在溫度高到足以保持對稱性未破缺的情況下，除了標量希格斯玻色子外，所有基本粒子都是無質量的。在臨界溫度下，希格斯場自發地從最大能量點滑向隨機選擇的某個方向。一旦對稱性被破壞，規範玻色子粒子，例如 W 玻色子和 Z 玻色子，就獲得了質量。質量可以被解釋為粒子與“希格斯海洋”相互作用的結果。

費米子，例如標準模型中的輕子和夸克，由於與希格斯場的相互作用而獲得質量，但與規範玻色子不同。

超導

希格斯機制可以被認為是真空中的超導。當整個空間都充滿了帶電粒子的海洋時，或者用場語言來說，當一個帶電場具有非零的真空期望值時，就會發生這種情況。與填充空間的量子流體的相互作用阻止了某些力在長距離內傳播。

超導體將所有磁場從其內部排除出去，這種現象被稱為邁斯納效應。這在很長一段時間內都是一個謎，因為它意味著電磁力在超導體內部以某種方式變得短程。將此與普通金屬的行為進行對比。在金屬中，電導率透過在表面重新排列電荷來遮蔽電場，直到總場在內部抵消。但是磁場可以穿透任何距離，如果一個磁單極子（一個孤立的磁極）被金屬包圍，則該場可以逸出，而不收斂成弦。然而，在超導體中，電荷以無耗散的方式移動，這允許永久表面電流，而不僅僅是表面電荷。當磁場在超導體的邊界處引入時，它們會產生表面電流，這些電流完全中和了它們。邁斯納效應是由薄表面層中的電流引起的，該層的厚度是倫敦穿透深度，可以透過一個簡單的模型計算出來。

這個簡單的模型，是由列夫·朗道和維塔利·金茨堡提出的，將超導性視為帶電的玻色-愛因斯坦凝聚態。假設超導體包含帶電荷 $q$ 的玻色子。玻色子的波函式可以透過引入一個量子場 $\psi$ 來描述，該場服從薛定諤方程作為場方程（在 $\hbar$ ，普朗克量子除以 $2\pi$ ，被替換為 1 的單位中）。

i{\partial \over \partial t}\psi ={(\nabla -iqA)^{2} \over 2m}\psi \,

算符 $\psi (x)$ 在點 $x$ 消滅一個玻色子，而它的伴隨算符 $\scriptstyle \psi ^{\dagger }$ 在同一點上建立一個新的玻色子。玻色-愛因斯坦凝聚體的波函式就是 $\psi (x)$ 的期望值 $\Psi$ ，這是一個服從相同方程的經典函式。期望值的解釋是，它是應該賦予新建立的玻色子的相位，以便它能夠與凝聚體中已經存在的其他所有玻色子發生相干疊加。

當存在帶電凝聚體時，電磁相互作用會得到遮蔽。為了看到這一點，考慮規範變換對場的影響。規範變換將凝聚體的相位旋轉一個從點到點變化的量，並將向量勢移動一個梯度。

\psi \rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \,

A\rightarrow A+\nabla \phi \,

當不存在凝聚體時，這種變換隻會改變 $\psi$ 在每個點的相位定義。但是當存在凝聚體時，凝聚體的相位定義了一個優選的相位選擇。

凝聚體波函式可以寫成

\psi (x)=\rho (x)\,e^{i\theta (x)},\,

其中 $\rho$ 是實振幅，它決定了凝聚體的區域性密度。如果凝聚體是中性的，則流動將沿著 $\theta$ 的梯度，即薛定諤場相位變化的方向。如果相位 $\theta$ 變化緩慢，則流動速度慢且能量很低。但是現在 $\theta$ 可以透過進行規範變換來旋轉場的相位而變為零。

相位緩慢變化的能量可以從薛定諤動能計算得出，

H={1 \over 2m}|{(qA+\nabla )\psi |^{2}},\,

並將凝聚體的密度 $\rho$ 設為常數，

H\approx {\rho ^{2} \over 2m}(qA+\nabla \theta )^{2}.\,

固定規範的選擇，使凝聚體在任何地方都具有相同的相位，則電磁場能量有一個額外的項，

{q^{2}\rho ^{2} \over 2m}A^{2}.\,

當存在這一項時，電磁相互作用變得短程。每一個場模，無論波長多長，都以非零頻率振盪。最低的頻率可以從長波長 A 模的能量讀出，

E\approx {{\dot {A}}^{2} \over 2}+{q^{2}\rho ^{2} \over 2m}A^{2}.\,

這是一個頻率為 $\scriptstyle {\sqrt {q^{2}\rho ^{2}/m}}$ 的諧振子。 $|\psi |^{2}$ （= $\rho ^{2}$ ）是超導粒子的凝聚態密度。

在實際的超導體中，帶電粒子是電子，它們是費米子而不是玻色子。因此，為了實現超導性，電子需要以某種方式結合成庫珀對。凝聚態的電荷 $q$ 因此是電子電荷 $e$ 的兩倍。普通超導體中的配對是由於晶格振動引起的，實際上非常弱；這意味著配對非常鬆散。對鬆散配對的玻色-愛因斯坦凝聚態的描述實際上比對基本粒子的凝聚態的描述更困難，直到 1957 年才由巴丁、庫珀和施裡弗在著名的 BCS 理論中解決。

阿貝爾-希格斯模型

在相對論規範理論中，向量玻色子天生是無質量的，就像光子一樣，導致長程力。這對電磁力來說很好，因為電磁力實際上是長程力，但這意味著規範理論對短程弱力的描述需要修改。

規範不變性意味著規範場的某些變換不會改變能量。如果在 A 中新增任意梯度，場的能量完全相同。這使得難以新增質量項，因為質量項往往會將場推向零值。但是，向量勢的零值不是規範不變的概念。在一個規範中為零的東西在另一個規範中就不為零了。

因此，為了給規範理論賦予質量，必須透過凝聚態來破壞規範不變性。凝聚態將定義一個優先相位，而凝聚態的相位將以規範不變的方式定義場的零值。規範不變的定義是，當沿任何路徑從平行傳輸得到的相位變化等於凝聚態波函式的相位差時，規範場為零。

凝聚態值由具有期望值的量子場描述，就像在朗道-金茨堡模型中一樣。為了確保場的凝聚態值不會在時空上選擇一個優先方向，它必須是一個標量場。為了讓凝聚態的相位定義一個規範，場必須帶電。

為了讓標量場 $\Phi$ 帶電，它必須是複數。等效地，它應該包含兩個具有旋轉對稱性的場，這些場互相旋轉，即實部和虛部。向量勢在量子從一個點移動到另一個點時改變了由場產生的量子的相位。在場的術語中，它定義了在比較附近點的場值時，要將場的實部和虛部互相旋轉多少。

復標量場 Φ 唯一獲得非零值的重整化模型是墨西哥帽模型，其中場能量在遠離零的地方有一個最小值。

S(\phi )=\int {1 \over 2}|\partial \phi |^{2}-\lambda \cdot (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}

這定義了以下哈密頓量

H(\phi )={1 \over 2}|{\dot {\phi }}|^{2}+|\nabla \phi |^{2}+V(|\phi |)

第一項是場的動能。第二項是場從一個點到另一個點變化時的額外勢能。第三項是場具有任何給定幅度時的勢能。

這種勢能 $\scriptstyle V(z,\Phi )=\lambda \cdot (|z|^{2}-\Phi ^{2})^{2}\,$ 的圖形看起來像一個墨西哥帽，這就是模型名稱的來源。特別是，最小能量值不在z=0處，而是在z的大小為 $\Phi$ 的圓圈上的點上。

當場 $\Phi$ (x) 不與電磁力耦合時，墨西哥帽勢能具有平坦方向。從真空圓圈中的任何一點開始，從一點到另一點改變場的相位需要很少的能量。數學上，如果

\phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\,,

具有一個常數前因子，那麼場 $\theta (x)$ 的作用，即希格斯場 Φ(x) 的 "相位"，只有導數項。這並不令人驚訝。對 $\theta (x)$ 新增一個常數是原始理論的對稱性，因此 $\theta (x)$ 的不同值不能具有不同的能量。這是一個關於戈德斯通定理的例子：自發破缺的連續對稱性會導致無質量粒子。

阿貝爾希格斯模型是與電磁力耦合的墨西哥帽模型

S(\phi ,A)=\int {1 \over 4}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+|(\partial -iqA)\phi |^{2}+\lambda \cdot (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.

經典真空再次位於勢能的最小值處，復場的幅度 $\phi$ 等於 $\Phi$ 。但現在場的相位是任意的，因為規範變換會改變它。這意味著場 $\theta (x)$ 可以透過規範變換設定為零，並且根本不代表任何自由度。

此外，選擇一個規範，其中凝聚態的相位是固定的，向量場的漲落的勢能是非零的，就像它在朗道-金茨堡模型中一樣。因此在阿貝爾希格斯模型中，規範場獲得質量。為了計算質量的大小，考慮在凝聚態具有恆定相位的規範中向量勢A在x方向上的恆定值。這與向量勢為零的規範中的正弦變化的凝聚態相同。在A為零的規範中，凝聚態中的勢能密度是標量梯度能

E={1 \over 2}|\partial (\Phi e^{iqAx})|^{2}={1 \over 2}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}

而這種能量與一個質量項相同 $m^{2}A^{2}/2$ 其中 $m=q\Phi$ 。

非阿貝爾希格斯機制

非阿貝爾希格斯模型具有以下作用

S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |)\,,

現在，非阿貝爾場 $\mathbf {A}$ 包含在 *D* 中，以及張量分量 $F^{\mu \nu }$ 和 $F_{\mu \nu }$ 中（ $\mathbf {A}$ 與這些分量之間的關係在楊-米爾斯理論中是眾所周知的）。

它與阿貝爾希格斯模型完全類似。現在場 $\phi$ 處於規範群的表示中，規範協變導數由場的變化率減去使用規範場 A 作為連線的平行傳輸的變化率定義。

D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi \,

同樣，Φ 的期望值定義了一個首選規範，其中凝聚體是恆定的，並且固定此規範，規範場 A 中的漲落會帶來非零能量成本。

根據標量場的表示方式，並非所有規範場都會獲得質量。一個簡單的例子是 Julian Schwinger 提出的早期電弱模型的可重整版本。在這個模型中，規範群為 SO(3)（或 SU(2)——模型中沒有旋量表示），並且規範不變性在長距離被破壞為 U(1) 或 SO(2)。為了使用希格斯機制構建一個一致的可重整版本，引入一個標量場 $\phi ^{a}$ ，它作為 SO(3) 的一個向量（一個三元組）進行變換。如果這個場具有真空期望值，它將在場空間中指向某個方向。不失一般性，可以選擇場空間中的 z 軸作為 $\phi$ 指向的方向，然後 $\phi$ 的真空期望值為 $(0,0,A)$ ，其中 A 是一個具有質量量綱的常數 ( $\scriptstyle c=\hbar =1$ ）。

繞 z 軸的旋轉形成 SO(3) 的一個 U(1) 子群，它保持了 $\phi$ 的真空期望值，這就是未破缺的規範群。繞 x 和 y 軸的旋轉不保持真空，並且生成這些旋轉的 SO(3) 規範場的分量變為質量化的向量介子。在 Schwinger 模型中，有兩個質量化的 W 介子，其質量由質量尺度 A 決定，以及一個無質量的 U(1) 規範玻色子，類似於光子。

Schwinger 模型預測在電弱統一尺度上存在磁單極子，並且不預測 Z 介子。它不像自然界那樣適當地破壞電弱對稱性。但在歷史上，與這個模型類似的模型（但不使用希格斯機制）是第一個將弱力和電磁力統一起來的模型。

標準模型希格斯機制

標準模型電弱部分的規範群是 $\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ 。希格斯機制由一個標量場實現，該標量場是具有弱超荷 -1 的弱 SU(2) 雙重態，它具有四個實分量或兩個復分量，並且在 SU(2) 下作為旋量進行變換，在 U(1) 旋轉下乘以一個相位。請注意，這與兩個在 U(1) 下混合的復旋量不同，後者將具有八個實分量，而這是一個 U(2) 群的旋量表示——乘以一個相位將復旋量的實部和虛部混合在一起。

SU(2) 群是所有酉矩陣，即在二維復向量空間中所有正交座標變換。將座標旋轉使得第一個基向量指向 $H$ 的方向，使得 H 的真空期望值為旋量 $(A,0)$ 。繞 x、y、z 軸旋轉的生成元是泡利矩陣 $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ 的一半，因此，繞 z 軸旋轉角度 $\theta$ 將真空變為

(Ae^{i\theta /2},0)\,

雖然 X 和 Y 生成元混合了上、下分量，但 Z 旋轉僅乘以一個相位。這個相位可以透過一個角度為 $\theta /2$ 的 U(1) 旋轉來消除，因為希格斯具有電荷 -1。在 SU(2) z 旋轉和 U(1) 旋轉 $\theta /2$ 下，真空是保持不變的。這種生成元組合

Q=W_{z}+{Y/2}\,

定義了未破缺的規範群，其中

W_{z}

是 SU(2) 中繞 z 軸旋轉的生成元，而 Y 是 U(1) 的生成元。這種生成元組合——在 SU(2) 中執行 z 旋轉，同時以一半的角度執行 U(1) 旋轉——保持真空狀態，並在標準模型中定義了未破缺的規範群。該方向上規範場的組成部分保持無質量，而這個規範場就是實際的光子。

場在這種生成元組合下獲得的相位就是它的電荷，而這是標準模型中電荷的公式。在這種約定中，標準模型中所有 Y 電荷都是 $1/3$ 的倍數。為了使標準模型中的所有 Y 電荷成為整數，你可以透過將所有 Y 電荷乘以三來重新縮放公式中的 Y 部分，並將電荷公式重寫為 $Q=W_{z}+Y/6$ ，但 Y/2 的歸一化是普遍的標準。

仿射希格斯機制

恩斯特·斯蒂克爾貝格透過分析具有大質量光子的量子電動力學理論，發現了希格斯機制的一個版本。斯蒂克爾貝格的模型是正則墨西哥帽阿貝爾希格斯模型的極限，其中真空期望值 H 趨於無窮大，希格斯場的電荷趨於零，以使它們的乘積保持固定。希格斯玻色子的質量與H成正比，因此希格斯玻色子變得無限大並消失。向量介子質量等於乘積 $eH$ ，並保持有限。

解釋是，當 U(1) 規範場不需要量子化的電荷時，可以只保留希格斯振盪的角度部分，而丟棄徑向部分。希格斯場的角度部分 $\theta$ 具有以下規範變換定律

\theta +e\alpha \,

A\rightarrow A+\alpha \,

角度的規範協變導數（實際上是規範不變的）是

D\theta =\partial \theta -eA\,

為了使 $\theta$ 漲落在這個極限中保持有限且非零， $\theta$ 應該乘以 H 進行重新縮放，以便它在作用量中的動能項保持歸一化。theta 場的作用量可以透過代入 $\scriptstyle \phi =He^{i\theta /H}$ 從墨西哥帽作用量中讀出。

S=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(D\theta )^{2}=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(\partial \theta -HeA)^{2}=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(\partial \theta -mA)^{2}

由於 $\scriptstyle eH$ 是規範玻色子的質量。透過進行規範變換，使 $\scriptstyle \theta =0$ ，消除了作用量中的規範自由度，作用量就變成了一個有質量的向量場的形式。

S=\int {1 \over 4}F^{2}+{m^{2} \over 2}A^{2}\,

為了獲得任意小的電荷，需要U(1)不是複數單位圓在乘法下的集合，而是實數R在加法下的集合，它們只是在全域性拓撲上有所不同。這樣的U(1)群是非緊的。場 $\theta$ 作為規範群的仿射表示進行變換。在允許的規範群中，只有非緊的U(1)才允許仿射表示，並且電磁的U(1)被實驗證明是緊的，因為電荷量子化現象在極高的精度上都成立。

這種模型中的希格斯凝聚體具有無窮小的電荷，因此與希格斯玻色子的相互作用不會違反電荷守恆。具有質量光子的量子電動力學仍然是一個可重整化理論，電荷仍然守恆，但磁單極子不允許存在。對於非阿貝爾規範理論，不存在仿射極限，希格斯振盪的質量不能比向量粒子大太多。

進一步的結果，例如對於費米子

儘管引入了自發對稱破缺，但對於費米子來說，質量項也與規範不變性相牴觸。因此，對於這些場來說，質量項也應該用規範不變的“希格斯機制”來代替。一個顯而易見的可能性是在費米子場ψ和希格斯場Φ之間存在某種“湯川耦合”（見下文），具有未知耦合 $G_{\psi }$ ，在對稱破缺後（更準確地說：在拉格朗日密度圍繞合適的基態展開後），又導致了原始質量項，這些質量項現在（即透過引入希格斯場）以規範不變的方式寫出來。費米子場ψ和希格斯場Φ的“湯川”相互作用的拉格朗日密度為

{\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi +G_{\psi }{\overline {\psi }}\phi \psi \,,

其中規範場A只出現在 $D_{\mu }$ 中（即，它只是間接可見的）。量 $\gamma ^{\mu }$ 是狄拉克矩陣， $G_{\psi }$ 是前面提到的“湯川”耦合引數。現在，質量生成遵循與上面相同的原理，即從有限期望值 $|\langle \phi \rangle |$ 的存在而來，如上所述。同樣，這對於“質量”屬性的存在至關重要。