量子場論/QFT 施溫格-戴森方程

在量子場論中，作用量由場配置的泛函 S 給出（它僅區域性依賴於場），則多項式有界泛函 F 的時間排序真空期望值 <F> 由下式給出

$<F>={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]}}}$

事實上，經典情況下的殼上方程通常有其量子模擬，因為，從手波的角度來看，當在配置空間中明顯偏離殼的區域積分時，快速振盪的相位往往會產生“相消干涉”，而在接近殼的區域，我們往往會看到“相干干涉”。

例如，殼上尤拉-拉格朗日方程的模擬是什麼？${\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]=0$?

如果泛函測度${\mathcal {D}}\phi$ 證明是平移不變的（在本文的其餘部分我們將假設這一點，儘管這對於非線性西格瑪模型來說並不成立），並且如果我們假設在維克旋轉之後

$e^{iS[\phi ]}$,

現在變成

$e^{-H[\phi ]}$

對於某些H，比任何多項式的倒數衰減得更快，則透過分部積分（在維克旋轉後，再進行維克旋轉回來）得到以下施溫格-戴森方程

$<{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]>=-i<F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]>$

對於任何多項式有界泛函F。

這些方程是殼上 EL 方程的模擬。

如果 J（稱為源場）是場配置的對偶空間的元素（由於泛函測度的平移不變性假設，它至少具有仿射結構，則源場的生成泛函 Z 定義為

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}$

注意

${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}Z[J]<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>_{J}$

其中

$<F>_{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}}}$

基本上，如果將 ${\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]}$ 視為一個函式分佈（這不應該被過於直白地解釋為量子場論的解釋，不像它的維克旋轉統計力學類似物，因為我們在這裡有時間排序的複雜性！），那麼 $<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>$ 是它的矩，而 Z 是它的傅立葉變換。

如果 F 是 φ 的一個泛函，那麼對於運算元 K，F[K] 被定義為將 K 代替 φ 的運算元。例如，如果 $F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})$ 並且 G 是 J 的一個泛函，那麼 $F[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J]$.

然後，從泛函積分的性質，我們得到“主”施溫格-戴森方程

${\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Z[J]=0$

如果泛函量度不是平移不變的，則可以將其表示為乘積$M[\phi ]{\mathcal {D}}\phi$，其中 M 是一個泛函，${\mathcal {D}}\phi$ 是一個平移不變的量度。例如，對於目標空間與 Rⁿ 微分同胚的非線性 σ 模型，情況就是這樣。然而，如果目標流形是某個拓撲非平凡的空間，平移的概念甚至沒有意義。

在這種情況下，我們需要用另一個泛函${\hat {S}}=S-i\ln(M)$ 來代替此方程中的 S。

如果我們將此方程展開為關於 J=0 的泰勒級數，我們將得到完整的施溫格-戴森方程組。

那麼關於經典情況下的殼 諾特定理 呢？它也有量子模擬嗎？是的，但有一個前提。泛函量度也必須在對稱變換的一引數群下保持不變。

讓我們看看它是如何運作的。為了簡單起見，我們假設這裡所討論的對稱性是區域性的（我的意思不是規範意義上的區域性。我的意思是區域性，即在無窮小變換下，場在任何給定點的變換值只依賴於該點在任意小鄰域內的場配置）。我們還假設作用是區域性的，即它是在時空上對拉格朗日量的積分，並且$Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)$ 對於某個函式 f，其中 f 僅區域性依賴於 φ（以及可能依賴於時空位置）。如果我們不假設任何特殊的邊界條件，這在一般情況下不會是真正意義上的“真實”對稱性，除非 f=0 或類似情況。這裡，Q 是一個生成一引數群的導數。我們也可以有反導數，例如 BRST 和超對稱性。我們還假設

$\int {\mathcal {D}}\phi Q[F][\phi ]=0$ 對於任何多項式有界泛函 F。此性質稱為量度的不變性。並且它在一般情況下不成立。有關詳細資訊，請參閱 反常 (物理學)。

那麼，

$\int {\mathcal {D}}\phi Q[Fe^{iS}][\phi ]=0$，這意味著

$<Q[F]>+i<F\int _{\partial V}f^{\mu }ds_{\mu }>=0$，其中積分是在邊界上進行的。這就是量子模擬。

現在，讓我們進一步假設 Q 是一個區域性積分 $Q=\int d^{d}xq(x)$ 其中 q(x)[φ(y)]=δ^(d)(x-y)Q[φ(y)]，這樣 $q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)$ 其中 $j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\phi ]$（假設拉格朗日量只依賴於 φ 及其一階偏導數！更一般的拉格朗日量需要修改這個定義！）。注意我們沒有堅持認為 q(x) 是對稱性的生成元（也就是說，我們沒有堅持規範原理），而只是 Q 是。並且，我們假設一個更強的假設，即泛函測度是區域性不變的

$\int {\mathcal {D}}\phi q(x)[F][\phi ]=0$.

那麼，我們將有

$<q(x)[F]>+i<Fq(x)[S]>=<q(x)[F]>+i<F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)>=0$

或者

$q(x)[S][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=0$

以上兩個方程是 **Ward-Takahashi 恆等式**。

現在，對於 f=0 的情況，我們可以忘記所有邊界條件和區域性假設。我們將簡單地得到

<Q[F]>=0。

或者

$\int d^{d}xJ(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=0$

一個例子： φ⁴

舉個例子，假設

$S[\phi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi (x)\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi (x)^{4}\right)$

對於一個實場 φ。

那麼，

${\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi (x)-m^{2}\phi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\phi (x)^{3}$.

這個特定例子中的 Schwinger-Dyson 方程是

$i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

注意，因為 ${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}$ 沒有明確定義（${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]$ 是 x₁、x₂ 和 x₃ 中的分佈），這個方程需要正則化！