量子場論/自由場的量子化

自旋0場

實標量場和復標量場。

實標量場$\phi$的運動方程可以從以下拉格朗日密度得到

${\begin{matrix}{\mathcal {L}}&=&{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}M^{2}\phi ^{2}\\&=&-{\frac {1}{2}}\phi \left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+M^{2}\right)\phi \end{matrix}}$

結果是$\left(\Box +M^{2}\right)\phi (x)=0$。

復標量場$\phi$可以被認為是兩個標量場的和：$\phi _{1}$和$\phi _{2}$，$\phi =\left(\phi _{1}+i\phi _{2}\right)/{\sqrt {2}}$

復標量場的拉格朗日密度為

${\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )^{+}\partial ^{\mu }\phi -M^{2}\phi ^{+}\phi$

克萊因-戈爾登方程

克萊因-戈爾登方程正是上面推匯出的自旋0粒子的運動方程：$\left(\Box +M^{2}\right)\phi (x)=0$

自旋1/2場

狄拉克方程

狄拉克方程由下式給出：

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \left(x\right)=0$

其中$\psi$ 是一個四維狄拉克旋量。 $\gamma$ 矩陣滿足以下反交換關係（稱為狄拉克代數）：

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\times 1_{n\times n}$

需要注意的是，狄拉克代數並沒有預先定義矩陣的維數。然而，對於四維閔可夫斯基空間，矩陣至少必須是$4\times 4$。