量子圖/度量圖上的薛定諤方程

度量圖上的薛定諤方程

考慮一個圖 $\Gamma =(V,E)$，其中 $V$ 是頂點的集合，而 $E$ 是邊的集合。每條邊連線一對頂點；我們允許在任意兩個頂點之間執行多條邊。我們還允許連線頂點到自身的邊（迴圈）。這種自由度帶來了一些符號上的困難，因此我們要求讀者靈活和寬容。

每條邊 $e$ 被分配一個正長度 $L_{e}$，因此被識別為一個區間 $[0,L_{e}]$（方向是任意選擇的，與最終的理論無關）。這使得 $\Gamma$ 成為一個度量圖。現在，圖上的函式只是一組定義在各個邊上的函式的集合。

薛定諤運算元的特徵值方程為

${\begin{aligned}-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+V(x)f(x)=\lambda f(x),\end{aligned}}$

它需要在每條邊上都滿足，此外還需要滿足以下頂點匹配條件

${\begin{aligned}f(x)\ {\text{is continuous}},\\\sum _{e\sim v}{\frac {df}{dx}}(v)=0.\end{aligned}}$

連續性意味著頂點的值在連線到（或入射）頂點的所有邊上的函式之間是相同的。在第二個條件中（通常稱為電流守恆條件），求和是在連線到頂點的所有邊上進行的，導數都是按照同一個方向進行的：從頂點到邊。迴圈邊對求和貢獻兩項，每段邊一端。

函式 $V(x)$ 被稱為電勢，但在下面所有示例中我們將將其設定為完全為零。頂點條件 \eqref{eq:cont}-\eqref{eq:current_cons} 被稱為Neumann 條件\footnote{其他出現在

 literature are ``Kirchhoff, ``Neumann-Kirchhoff, ``standard,
 ``natural etc.}; they can be generalized significantly, but before

我們再提供任何理論之前，讓我們考慮一些例子。

示例：一個平凡的圖 - 一個區間

區間 $[0,L]$ 是最簡單的圖的例子；它有兩個頂點（區間的端點）和一條邊。由於只有一條邊，因此每個頂點的連續性條件為空。頂點 $0$ 處的電流守恆條件變為

${\begin{aligned}f'(0)=0,\end{aligned}}$

而在頂點 $L$ 處變為

${\begin{aligned}-f'(L)=0.\end{aligned}}$

負號出現是因為我們同意將導數指向邊內；當然，在本例中它是冗餘的。

設 $V(x)\equiv 0$ 並首先考慮正特徵值， $\lambda >0$。特徵值方程變為

${\begin{aligned}-f''=k^{2}f,\end{aligned}}$

為了方便，我們用 $\lambda =k^{2}$ 代替。這是一個具有常係數的二階線性方程，對於 $k>0$ 可以很容易地解出

${\begin{aligned}f(x)=C_{1}\cos(kx)+C_{2}\sin(kx).\end{aligned}}$

應用第一個頂點條件 $f'(0)=0$ 我們得到 $C_{2}=0$ 且 $f(x)=C_{1}\cos(kx)$。第二個頂點條件變為

${\begin{aligned}C_{1}k\sin(kL)=0,\end{aligned}}$

這給 $k$ 加了一個條件，但沒有確定 $C_{1}$ （很自然地，我們對平凡解 $f(x)\equiv 0$ 不感興趣）。因此，我們得到 \emph{特徵值} $\lambda =k^{2}=\left(\pi n/L\right)^{2}$，$n=1,2,\ldots$，以及對應的特徵函式 $f(x)=\cos \left(\pi nx/L\right)$，這些函式在整體常數因子範圍內定義（正如特徵向量和特徵函式應有的那樣）。

在頻譜中我們還漏了一個特徵值：$\lambda =0$，其特徵函式為 $f(x)\equiv 1$。雖然這與 $n=0$ 時上述公式一致，但當 $\lambda =0$ 時，方程式 (\ref{eq:f_solution}) 的前提不再正確。

練習 1

 Solve the eigenvalue equation with $\lambda <0$ and show that the
 vertex conditions \eqref{eq:NC1} and \eqref{eq:NC2} are never
 satisfied simultaneously (ignore the trivial solution $f(x)\equiv 0$).

練習 2

對標量積進行分部積分

Failed to parse (unknown function "\cc"): {\displaystyle \begin{aligned} \left\langle f, -f'' \right\rangle = \int_0^L \cc{f(x)} \left(-f''(x)\right) dx, \end{aligned} }

以獲得顯然非負的表示式，從而表明不需要求解 \eqref{eq:eig_eq_V0} 就可以得出沒有負特徵值的結論。

我們沒有試圖尋找復特徵值。這是因為我們定義的薛定諤算符是自伴隨的（見 \cite{BerKuc_graphs} 的定理 1.4.4），因此具有實頻譜。上面例子中的頻譜是離散的：所有特徵值都是孤立的，並且具有有限的重數。對於任何緊湊圖（具有有限個邊，所有邊都具有有限長度）來說都是如此，見 \cite{BerKuc_graphs} 的定理 3.1.1。練習~\ref{hw:nonneg} 中概述的證明適用於所有頂點都具有 Neumann 條件的通用圖。頻譜中特徵值 0 的重數可以證明等於圖的連通分量的數量。

示例：具有二度頂點的可平凡化圖

\label{sec:fake_vertex}

現在考慮一個由兩個連續區間組成的圖，$[0,L_{1}]$ 和 $[L_{1},L_{1}+L_{2}]$。我們實際上不需要從 0 開始對邊進行引數化，因此在本例中我們將採用 *自然引數化*。

將兩個區間上的特徵函式的成分分別表示為$f_{1}$ 和 $f_{2}$。在第一條邊上求解方程，並在 $0$ 處施加 Neumann 條件，得到 $f_{1}(x)=C\cos(kx)$。在點 $L_{1}$ 處的條件是

${\begin{aligned}&f_{1}(L_{1})=f_{2}(L_{1}),\\&-f_{1}'(L_{1})+f_{2}'(L_{1})=0.\end{aligned}}$

現在，根據二階微分方程的唯一性定理，第二條邊上的解完全由它在 $L_{1}$ 處的取值和導數的取值決定。因此，解仍然是 $f_{2}(x)=C\cos(kx)$，並且在 $L_{1}$ 處沒有發生解的變化。我們可以考慮區間 $[0,L_{1}+L_{2}]$，而無需在 $L_{1}$ 處引入額外的頂點。這顯然推廣到以下規則：具有度數為 2 的 Neumann 頂點等效於具有不間斷的邊。

例如，當想要程式設計一個迴圈邊，但受到迴圈或多條邊的符號表示困難的困擾時，此規則非常有用。在這種情況下，迴圈邊可以實現為具有兩個度數為二的虛擬頂點的三角形。

示例：具有 Neumann 端點的星形圖

\begin{figure}

 \centerline{\includegraphics{f_stargraph}}
 \caption{A star graph with three edges.}
 \label{fig:stargraph}

\end{figure}

現在考慮第一個非平凡的例子：一個在中心頂點處有 3 條邊相交的星形圖，參見圖~\ref{fig:stargraph}。從端點到中心頂點引數化邊，我們得到

${\begin{aligned}&-f_{1}''=k^{2}f_{1},\quad -f_{2}''=k^{2}f_{2},\quad -f_{3}''=k^{2}f_{3},\\&f_{1}'(0)=0,\quad f_{2}'(0)=0,\quad f_{3}'(0)=0,\\&f_{1}(L_{1})=f_{2}(L_{2})=f_{3}(L_{3}),\\&-f_{1}'(L_{1})-f_{2}'(L_{2})-f_{3}'(L_{3})=0,\end{aligned}}$

此外，除了我們已經熟悉的方程 \eqref{eq:star_equation} 和 \eqref{eq:neumann_per} (三個副本) 之外，我們還有方程 \eqref{eq:cont_central} 中的中心頂點連續性條件和方程 \eqref{eq:cur_cons_central} 中的中心頂點電流守恆條件。請注意，在方程 \eqref{eq:star_equation} 中，特徵值 $k^{2}$ 在所有三條邊上都相同。

方程 \eqref{eq:star_equation}-\eqref{eq:neumann_per} 的解為

${\begin{aligned}f_{1}(x)=A_{1}\cos(kx),\quad f_{2}(x)=A_{2}\cos(kx),\quad f_{3}(x)=A_{3}\cos(kx),\end{aligned}}$

對於一些常數 $A_{1}$、$A_{2}$ 和 $A_{3}$。現在剩下的兩個方程，經過簡單的簡化後，變為

${\begin{aligned}&A_{1}\cos(kL_{1})=A_{2}\cos(kL_{2})=A_{3}\cos(kL_{3}),\\&A_{1}\sin(kL_{1})+A_{2}\sin(kL_{2})+A_{3}\sin(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

將方程 \eqref{eq:cur_cons_central_sub} 除以 \eqref{eq:cont_central_sub} 消除了未知常數，得到

${\begin{aligned}\tan(kL_{1})+\tan(kL_{2})+\tan(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

該方程根的平方 $k$（除非所有 $L$ 都相等，否則無法顯式求解）是星形圖的特徵值。

習題 3

 We ignored the possibility that one or more of the cosines in
 equation \eqref{eq:cont_central_sub} are zero.  Show that the
 more robust (but much longer!) version of equation \eqref{eq:3star}
 is

${\begin{aligned}\sin(kL_{1})\cos(kL_{2})\cos(kL_{3})+\cos(kL_{1})\sin(kL_{2})\cos(kL_{3})+\cos(kL_{1})\cos(kL_{2})\sin(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

此外，根的階數 $k$ \eqref{eq:3star_robust} 等於相應特徵空間的維數。

例如，如果 $L_{1}=L_{2}=L_{3}=\pi /2$，\eqref{eq:3star_robust} 的左側在 $k=1$ 處二階消失。這對應於兩個線性無關的解，

${\begin{aligned}(f_{1},f_{2},f_{3})=(\cos(x),-\cos(x),0)\quad {\mbox{and}}\quad (\cos(x),0,-\cos(x)).\end{aligned}}$

實際上，關於這個簡單的圖還有很多可以說的（而且將會被說出來），但我們首先需要擴充套件我們考慮的頂點條件的集合。