量子力學/量子波函式的意義
在經典影像中，我們通常處理粒子的位置和動量。從這些資訊中，我們可以得到關於系統的全部物理資訊。
然而，很容易看出這種方法在量子力學中會遇到嚴重的困難。如果我們暫時將不確定性原理作為量子力學的定義，那麼，粒子的位置就沒有簡單的意義，因為其中存在著固有的不確定性。
在量子力學中，談論某個特定位置 *和* 動量是錯誤的。
為了解決這個問題，我們不將粒子賦予一個特定的位置值（或動量值），而是將找到粒子的機率分配給空間中的每個點。我們可以同樣定義它具有特定動量的機率，但這雖然同樣有效，但最初並不有用。
因此，在量子力學中，我們有一個波函式，它包含了關於系統的所有資訊，正如我們將會看到的。通常情況下，這個波函式是複數。這個波函式的模方是系統的機率分佈。
現在，位置（或動量）不再是一個變數，而是一個算符。在瞭解它如何運作之前，讓我們稍微偏離一下，以便更好地理解算符。
例如，考慮一個雙態系統。所謂雙態系統是指某個特定屬性（例如顏色）只能取兩個值（例如紅色和藍色）。現在，系統的波函式將是這些狀態的混合。假設當粒子“確定性”為紅色時，其波函式為 R，而當粒子“確定性”為藍色時，其波函式為 B。因此，系統的通用波函式 *W* 是兩個波函式的線性組合。
其中 是粒子為紅色的機率。由於這是一個雙態系統，。請注意，一般情況下， 和 可能是複數，這就是為什麼我們必須使用 而不是 來獲得一個真實的機率。
現在，重磅訊息。量子力學的根本假設是，任何測量都會 *將系統送入該算符的本徵態之一*。本徵態是指不受算符影響的系統狀態。
在這個例子中，當我們測量系統的顏色時，我們用一個顏色算符乘以它，這個算符將波函式轉換為顏色，紅色或藍色。
因此，量子力學說，如果你對顏色進行測量，你永遠不會發現系統是紅色和藍色的混合物！你只是有時會發現它為紅色，有時會發現它為藍色，並且具有相應的機率。
如果你要測量系統的其他屬性，你可能會發現它處於一種你可以推斷出其顏色混合的狀態，但你無法觀察到這種混合。不確定性原理源於這種現象。
測量不過是在我們的波函式上作用相應的算符。請記住，一旦我們在我們的波函式上作用了一個算符，系統就已經“坍縮”到它的本徵態之一（允許狀態）。任何隨後的測量將產生相同的結果，因為系統不再是所有這些本徵態的混合。
要看到上面提到的機率效應，你需要從頭開始準備系統。換句話說，在進行測量之前，準備系統的無限個心理副本（一個系綜），然後對每個副本進行相同的測量。
回到位置；這是一個特殊的算符，因為它的頻譜（本徵值的範圍）是連續的。我們的示例具有離散的（兩級）系統。對於這種算符，計算過程的細節變得更加複雜，但基本原理保持完全相同。
現在會發生什麼？我們知道量子力學應該在足夠大的尺度上還原為經典力學。對於單個粒子，這個波函式在“經典位置”附近達到峰值，標準差約為 h。因此，在正常尺度上，我們不會看到粒子的這種“模糊性”。
為了瞭解結果如何與經典力學相匹配，我們可以使用“期望值”的概念。算符的期望值只是其本徵值的平均值，以相應的機率加權。可以證明，位置和動量的期望值與經典位置和動量之間的關係類似。