量子力學/算符和對易子

為什麼是算符？

當我們處理薛定諤方程或量子力學的任何其他公式時，無法找到屬性的精確值。相反，我們使用算符。

薛定諤方程最簡單的表達方式是$${\hat {E}}\Psi ={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\Psi +V({\hat {x}})\Psi$$ 表明能量 = 動能 + 勢能。

現在，如果我們不使用能量和動量的算符，這看起來可能會非常簡單。我們可以簡單地除以波函式 Ψ。但就像大多數事情一樣，它永遠不會簡單。能量算符作用於波函式，動量算符也是如此。因此，我們需要找到波函式才能理解這個方程。

幾個常見算符的概述

儘管從理論上講我們可以提出無限數量的算符，但在實踐中，有一些算符比其他算符重要得多。

動量

動量算符是

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

因此，薛定諤方程的相關部分將變為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\partial }^{2}}{{\partial x}^{2}}}\Psi$

能量

能量算符是

${\hat {\epsilon }}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

所以薛定諤方程現在看起來像

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V(x)\Psi$

如您所見，這現在是一個微分方程，它是否容易求解取決於勢$V(x)$。

請注意，這是薛定諤方程的一維形式，對於更高維數，它會變得更加複雜。

哈密頓量

我們經常將這個方程的右手邊稱為哈密頓算符。

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\partial }^{2}}{{\partial x}^{2}}}+V(x)$

它代表質量為 m 的粒子在勢場 V 中的總能量。

期望值

在量子力學中，一切都是機率性的（例如，找到一個粒子的機率是波函式幅度的平方）。所以我們經常想知道位置、動量或其他任何東西的期望值，有一個非常好的方法可以做到這一點。

$\langle {\hat {K}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}{\hat {K}}\Psi dx$

例如，如果你知道波函式並想要找到動量的期望值，你可以使用以下公式：

$\langle {\hat {p}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}{\Bigg (}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigg )}\Psi dx$

狄拉克符號 (Bra-Ket 符號)

為了簡化符號，保羅·狄拉克提出了一種新的書寫狀態的方式

$|n\rangle \equiv \Psi _{n}$

即一個 ket

$\langle n|\equiv \Psi _{n}^{*}$

即一個 bra

所以動量期望值的表示式現在可以寫成

$\langle {\hat {p}}\rangle =\langle n|{\hat {p}}|n\rangle$

這種符號被廣泛使用。它在由矩陣和狀態向量表示的有限維問題中非常有用。在二維中，使用量子位 (主要用於量子資訊理論)，其中

$|0\rangle$

和

$|1\rangle$

是狀態向量。

有關狄拉克符號的更多資訊，請參見 維基百科：Bra-ket 符號

對易子

"你知道為什麼四減一加十等於十四減一嗎？因為加法是對易的，對吧？" - 湯姆·萊勒

對易子在量子力學中非常重要。它們不僅是海森堡發現不確定性原理的方式，而且經常用於粒子物理學中。眾所周知，如果兩個物理量不滿足對易，則你無法同時知道它們的數值。

對易子的數學定義

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

如果它們滿足對易，則此值為 0，否則為其他值。

正如你可能已經看到的那樣，所有自然數都滿足對易。例如

$[6,7]=6*7-7*6=42-42=0$

但是，如果我們看看動量和位置，事情開始變得有趣起來。

${\begin{matrix}[{\hat {p}},{\hat {x}}]\Psi &=&({\hat {p}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {p}})\Psi \\&=&-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(x\Psi )+ix\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(\Psi )\\&=&-i\hbar \Psi -ix\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}+ix\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\\&=&-(i\hbar )\Psi \end{matrix}}$

$[{\hat {p}},{\hat {x}}]=-i\hbar$

本質上，這意味著在給定的時間點，你不可能同時精確地知道一個粒子的位置和動量。不存在既是位置算符又是動量算符的本徵函式的波函式，因此係統不可能同時具有確定的動量值和確定的位置值。

但是，如果我們看一下動量和能量之間的對易子，

${\begin{matrix}[{\hat {p}},{\hat {\epsilon }}]\Psi &=&{\hat {p}}{\hat {\epsilon }}\Psi -{\hat {\epsilon }}{\hat {p}}\Psi \\&=&-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi )-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi )\\&=&\hbar ^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial }{\partial t}}\Psi )-\hbar ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\partial }{\partial x}}\Psi )\\&=&0\end{matrix}}$

由此，我們知道動量和能量是對易的。因此，我們可以找到能量和動量的同時本徵函式，這些函式具有這兩個可觀測量的確定值。