量子力學/微擾理論

簡介

微擾能譜

微擾理論是一種非常重要的方法，可以用來觀察量子體系在勢能發生微小變化時將受到怎樣的影響。因此也影響了哈密頓量。

微擾理論圍繞著將勢能表示為多個（通常是兩個）獨立的勢能，然後觀察第二個勢能如何影響體系。

它使我們能夠獲得對於體系的良好近似值，在這些體系中，特徵態並不都容易找到。

在現實生活中，很少有哈密頓量是可以精確求解的。大多數現實生活情況都需要一些近似方法來求解它們的哈密頓量。微擾理論就是其中之一。微擾指的是小的擾動。請記住，體系的哈密頓量只不過是體系的總能量。一些外部因素總是會影響體系的能量及其行為。為了分析體系的能量，如果我們不知道精確的求解方法，那麼我們可以研究外部因素（微擾）對哈密頓量的影響。例如，我們可以透過在彈簧上施載入荷來研究彈簧的彈性特性。透過這種方式，我們可以近似地預測相關體系的特性。作用在體系上的微擾有兩種型別：時間相關的和時間無關的，因此存在相應的時間相關的和時間無關的理論。我們必須將哈密頓量分成兩部分。一部分是哈密頓量，我們知道它的精確解，另一部分是微擾項。透過這種方式，我們可以用非常好的近似來解決問題。在量子力學中，這種方法的一個例子是，我們可以使用氫原子的哈密頓量來解決氦離子的問題。

一階修正

能量

能量的一階修正由下式給出

$\epsilon _{n}^{(1)}=\langle n|V|n\rangle =\int \Psi _{n}^{(0)^{\star }}(x){\hat {V}}(x)\Psi _{n}^{(0)}(x)dx$

波函式的一階修正為

$C_{k}^{(1)}={\frac {\langle k|V|n\rangle }{\epsilon _{n}^{(0)}-\epsilon _{k}^{(0)}}}$

證明

令 ${\hat {H}}_{0}$ 是一個哈密頓量，其中所有特徵態都是已知的。

${\hat {H}}_{0}\Psi _{n}^{(0)}=\epsilon _{n}^{(0)}\Psi _{n}^{(0)}\qquad n\in \mathbb {N} \qquad (1)$ $({\hat {H}}_{0}+{\hat {V}})\Psi =\epsilon \Psi \qquad (2)$

現在將 $\Psi$ 表示為所有部分的線性組合，

$\Psi =\sum c_{m}\Psi _{m}^{(0)}$

並將它代入 (2) 中。