量子力學/對稱性和量子力學

對稱性的概念在物理學中扮演著重要的角色。我們已經在相對論中使用過對稱性論證 - 將相對性原理應用於獲得相對論物質波的色散關係就是一個這樣的論證。在本節中，我們將開始探索如何使用對稱性來加深我們對量子力學的理解。

自由粒子

具有確定動量P和能量E的自由粒子的波函式由下式給出

$\psi =\exp i(kx-\omega t)=\exp i{\frac {Px-Et}{\hbar }}$

對於這個波函式 |ψ|²=1 在任何地方都成立，因此在空間和時間的任何地方找到粒子的機率都是均勻的 - 就像粒子的能量一樣。

這與如果我們假設自由粒子具有波函式，那麼出現的機率分佈形成對比

$\psi =\sin {\frac {Px-Et}{\hbar }}\quad |\psi |^{2}=\sin ^{2}{\frac {Px-Et}{\hbar }}$

在這種情況下，機率隨位置和時間變化，這與均勻機率分佈不一致。這個解不如問題對稱。

對稱性和確定性

量子力學是一個機率理論，因為它做出的預測告訴我們，例如，找到一個粒子在空間中的某個位置的機率。如果我們對粒子的先前歷史一無所知，並且沒有物理約束使粒子更有可能出現在軸上的一個點而不是另一個點，那麼機率分佈必須是P(x)=常數。

這是一個對稱性論證的例子。更正式地說，它指出，如果上述條件適用，那麼機率分佈應該滿足條件P(x+d)=P(x) 對於d 的任何常數值。這隻有在P(x) 是一個常數的情況下才能成立。

用物理學的語言來說，如果沒有東西使粒子在某一點比在另一點有更高的機率，那麼機率與位置無關，系統在該方向上的位移下是不變的。

上述論證不足以說明量子力學，因為正如我們所學到的，描述粒子的基本量不是機率分佈，而是波函式。因此，波函式而不是機率分佈應該是對位移不變的量。

這個條件過於嚴格，因為它意味著ψ 是一個常數，但我們知道，描述沿著軸線均勻找到粒子的機率的一維平面波的形式為

$\psi =\exp ikx\,$

（為了簡單起見，我們暫時忽略時間依賴性。）如果我們在平面波中進行替換x→x+d，我們得到

$\psi =\exp ik(x+d)=\exp ikd\exp ikx\,$

因此，波函式在技術上不對位移不變，因為位移後的波函式乘以因子 exp(ikd)。但是，位移後波函式的機率分佈仍然在任何地方都等於 1，因此我們觀察到的內容沒有變化。

因此，在確定對位移的不變性時，我們被允許忽略波函式的變化，這些變化僅由將其乘以絕對值為 1 的複數常數構成；即 exp(iα) 的形式，其中 α 為實數。這種乘法常數稱為相位因子，而 α 稱為相位。

透過反覆試驗或更復雜的方法，很容易讓人信服，滿足此條件的唯一形式的波函式是

$\psi =A\exp ikx\,$

其中A 是一個（可能是複數的）常數。這只是具有波數k 的復指數平面波的形式。因此，不僅復指數波函式以上述方式對位移不變，它也是唯一對位移不變的波函式。此外，對於此類平面波的位移d 出現的相位因子採用 exp(ikd) 的形式，其中k 是平面波的波數。

例如，讓我們看看波包是否對位移不變。讓我們定義一個由兩個平面波組成的波包

$\psi =e^{ik_{1}x}+e^{ik_{2}x}$

在這種情況下，進行替換x→x+d 會導致

${\begin{matrix}\psi &=&e^{ik_{1}(x+d)}+e^{ik_{2}(x+d)}\\&=&e^{ik_{1}d}e^{ik_{1}x}+e^{ik_{2}d}e^{ik_{2}x}\\&\neq &\left[e^{ik_{1}(x+d)}+e^{ik_{2}(x+d)}\right]e^{i\alpha }\end{matrix}}$

無論 α 的取值如何。

將位移後的波函式寫成原始波函式乘以相位因子的形式是不可能的，這一事實為以下論點提供了依據：單個復指數是唯一可能的、在位移下不變的波函式形式。

注意，波包沒有確定的波數，因此也沒有確定的動量。特別是，與該粒子相關的波函式可能具有動量 $\hbar k_{1}$ 或 $\hbar k_{2}$，其振幅不為零。從不確定性原理的角度來看，這是有意義的——對於單一平面波，位置的不確定性是完全的，而動量的不確定性為零。對於波包，位置的不確定性減小，而動量的不確定性不為零。

然而，我們看到這個想法可以進一步擴充套件：一個確定的動量值必須與位置上的完全不確定機率分佈相關聯。這對應於具有復指數平面波形式的波函式。

然而，這種平面波在位移 *d* 下是不變的，除了一個相乘的相位因子，該因子沒有物理意義，因為它在獲得機率分佈時會消失。因此，我們看到波函式在位移下的不變性和動量的確定值是相互關聯的，它們相互暗示。

位移下的不變性 ⇔ 確定的動量

我們可以將這與經典力學進行比較，在經典力學中，我們看到如果能量在位移下是不變的，那麼動量是守恆的，對廣義座標也是如此。

上述等價關係也可以擴充套件到任意座標。

特別是，由於復指數平面波的時間依賴性是

$e^{-i\omega t}=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

根據上述論點的類比，我們有

時間位移下的不變性 ⇔ 確定的能量

因此，波函式在時間位移下的不變性意味著相關粒子的能量具有一個確定的值。

另一個有用的例子是

旋轉下的不變性 ⇔ 確定的角動量

因為旋轉和角動量之間的相同聯絡與經典力學中的一樣。

在上一章中，我們假設透過可變勢能區域的粒子具有確定的、恆定的頻率（因此也具有確定的能量）。現在我們看到，只有當勢能不隨時間變化時，這個假設才成立。這是因為隨時間變化的勢能消除了時間位移下的不變性。

相容變數

我們已經知道，在量子力學中，某些變數對的確定值不能同時獲得。例如，位置和動量的不確定性由不確定性原理關聯——位置的確定值意味著動量的非確定值，反之亦然。如果兩個變數的確定值可以同時獲得，那麼我們稱這些變數為相容的。如果不是，這些變數就是不相容的。

如果粒子的波函式在與這兩個變數相關的變換下保持不變，那麼這些變數就是相容的。例如，與自由粒子相關的復指數平面波在空間和時間位移下保持不變。由於動量與空間位移相關，能量與時間位移相關，因此動量和能量是自由粒子的相容變數。

相容性和守恆

與能量相容的變數具有特殊地位。與這種變數的確定值對應的波函式在時間位移下保持不變。因此，如果波函式在某個特定時間也對其他變換保持不變，那麼它在所有時間都對該變換保持不變。因此，與該變換相關的變數在所有時間都保持其確定的值——即它是守恆的。

例如，復指數平面波意味著能量具有一個確定的值，因此在時間位移下保持不變。在時間 *t'=0* 時，它也對位移保持不變，這對應於它代表一個動量已知值的粒子。然而，由於動量和能量對於自由粒子是相容的，因此波函式將在所有其他時間都代表相同的動量值。

換句話說，如果動量在 *t*=0 時是確定的，那麼它在所有後續時間都將是確定的，並且將具有相同的值。這就是動量守恆（以及擴充套件到任何其他與能量相容的變數的守恆）如何在量子力學中表達的。

我們將在後面看到如何用運算元來描述這一點。