量子力學/氫原子

氫原子

介紹

現在您可能已經熟悉了玻爾原子模型，它對分類基本原子光譜線的位置非常有幫助。然而，玻爾幸運的是，不止一次。氫原子是量子力學中為數不多的幾個我們幾乎能夠精確求解的系統之一。這使得它作為其他量子力學系統的模型，以及作為原子本身行為的模型，非常有用。

基礎

我們可以假設氫原子受庫侖勢支配，即

$V(r)=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

因此，$H\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

顯然，透過觀察，我們可以看到氫原子是一個球形系統。因此，在球座標中處理氫原子更有意義。在這一點上應該記住，透過變數分離，你可以得到三維空間中球形拉普拉斯運算元的解

$\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}$

當我們在哈密頓量內使用變數分離時，該函式的解給我們兩個不同的函式，徑向波函式（現在沒有用，但值得知道）

$A\cdot J_{l}\left(Z_{nl}{\frac {r}{a}}\right)$

其中$J_{l}$是 l 型的球形貝塞爾函式，而$Z_{nl}$是這些貝塞爾函式的零點。

另一個分量，角分量是球諧函式，它們在維基百科中進行了詳細的探討。

計算

本質上，我們現在領先一步。我們已經知道答案。氫波函式將必須包含拉普拉斯運算元的球形解，並將與角分量和徑向分量都有關。這是最幸運的；對於我們來說，試圖在做氫原子時求解拉普拉斯運算元將會很困難。然而，我們還有一些任務。情況必須歸一化，我們必須處理我們的勢有一個討厭的 r 依賴性這一事實。

結果

我們最終得到了你一直以為我們會得到的答案。我們可以將氫波方程寫成

$\Psi _{nlm}(r,\phi ,\theta )=R_{nl}(r)Y_{m}^{l}(\theta ,\phi )$

其中 $Y_{m}^{l}(\theta ,\phi )$ 是球諧函式。