量子力學/波與模態

如果從一開始就引入一些場論和量子場論的概念，例如“正常模態”和“佔據”，就可以避免許多關於量子力學的誤解。它們是理解量子力學最深奧和最有趣的思想所必需的。歡迎在討論頁上提出關於此方法的問題。

波與模態

波是在連續介質或物理場中傳播的擾動。透過新增波或將它們的振幅乘以一個比例因子，形成波的**疊加**。波必須滿足疊加原理，該原理指出波可以相互穿過而不會相互干擾。看起來有兩個疊加的現實，每個現實只攜帶一個波，並且不知道彼此的存在（如果在波動方程中數學地使用疊加原理，就會假設這一點）。

例子包括聲波和電磁波（光），還有下面解釋的電子軌道。

許多學生認為**駐波**是一個一維的概念，因為通常提供的例子（彈簧上的波或弦上的波）都是如此。實際上，駐波是擴充套件物體的所有部分在一定頻率下同步振盪，其中振盪輪廓（特別是節點和最大振盪幅度點）不發生改變。這也稱為振盪的正常模態。輪廓可以在克拉尼圖形和振動全息術中變得可見。在無界系統中，即沒有反射壁或吸引勢的系統，行波也可以被選為振盪的正常模態（參見邊界條件）。

振盪正常模態的**相移**是按振盪週期角度表示的時間偏移，例如 90° 和 180°（或 $\pi /2$ 和 $\pi$）分別是振盪週期的四分之一和二分之一的時間偏移。此操作被引入作為形成波疊加的另一種允許操作（在數學上，它由縮放波的複數的相位因子覆蓋）。

• 亥姆霍茲進行了一項實驗，清楚地展示了箱體中共振的物理現實。（他預測並檢測到本徵頻率。）
• 駐波和行波實驗

電磁模態和電子模態

量子力學之父之一，馬克斯·普朗克。

普朗克第一個提出電磁模態不是連續激發的，而是由能量量子 $h\nu$ 以與頻率成正比的方式離散激發的。透過這個假設，他可以解釋為什麼在熱光源中高頻模態保持未激發：熱交換能量 $k_{B}T$ 太小了，無法提供能量量子 $h\nu$ 如果 $\nu$ 太大。經典物理學預測，*所有* 振盪模態（每個模態有 2 個自由度）——無論其頻率如何——都攜帶平均能量 $k_{B}T$，這相當於無限的總能量（稱為紫外災變）。這個能量量子化的想法是模態佔據概念的歷史基礎，愛因斯坦將其稱為光量子，自從 1926 年吉爾伯特·N·劉易斯引入這個術語以來，它也被稱為光子。

電子束（在類似於電視的陰極射線管中加速）在晶體中被衍射，在螢幕上觀察到類似於單色光被衍射光柵衍射或 X 射線被晶體衍射的衍射圖案。這個觀察結果證明了德布羅意的想法，即不僅光，而且電子也像波一樣傳播和衍射。在原子核的吸引勢中，這種波就像吉他琴體中的聲波一樣被限制。這就是為什麼在這兩種情況下都會形成駐波（= 振盪的正常模態）。電子是這種模態的佔據。

光學腔。

電子軌道是電子量子場的振盪正常模態，非常類似於光學腔中的光模態是電磁場的振盪正常模態。據說電子是軌道的佔據。這是量子力學的主要新思想，它是由對多電子原子中電子狀態的觀察強加給我們的。觀察到某些場，例如電子量子場，只允許其振盪的正常模態在給定時間被激發一次，它們被稱為費米子。如果你在這個量子場中有更多佔據要放置，你必須選擇其他模態（自旋自由度包含在模態中），例如在碳原子中就是這種情況。通常，較低能量（= 較低頻率）的模態更受青睞。如果它們已經被佔據，則*必須* 選擇較高能量的模態。在光的情況下，光子是電磁模態佔據的想法是由普朗克和愛因斯坦在更早的時候發現的，見下文。

過程和粒子

自然界中所有過程都可以簡化為模式的孤立時間演化和佔有率的重新排列（疊加），如費曼圖中所描述的（由於解耦模式的孤立時間演化是平凡的，因此有時會透過數學重新定義將其消除，這反過來又會在重新排列操作中產生時間依賴性；這被稱為狄拉克的相互作用影像，其中所有過程都簡化為佔有率的（重新定義的）重新排列）。例如，在電子發射光子的過程中，電子改變其狀態，一個電子模式的佔有率被轉移到另一個頻率較低的電子模式，併產生一個電磁模式（其頻率等於所述電子模式頻率的差）的佔有率。

在量子理論中，電子和光子變得非常相似，但一個主要的區別仍然存在：電子模式不能被激發/佔據超過一次（= 泡利不相容原理），而光子/電磁模式可以，甚至更傾向於這樣做（= 受激發射）。

電子模式和光子模式的這種性質分別稱為費米子和玻色子。兩個光子是不可區分的，兩個電子也是不可區分的，因為在這兩種情況下，它們只是模式的佔有率：重要的是哪些模式被佔據。佔據的順序無關緊要，除了在費米子佔據的奇排列中，振幅中引入負號。

當然，電子和光子之間還有其他區別。

• 電子帶有電荷和靜止質量，而光子沒有。
• 在物理過程中（參見費曼圖），一個光子可以被建立，而一個電子不能被建立，除非同時移除其他費米子粒子或建立一些費米子反粒子。這是由於電荷守恆。

模式數、可觀察量和本徵模式

描述波的模式系統可以隨意選擇。任何任意波都可以分解成所選系統中每個模式的貢獻。對於有數學傾向的人來說：這種情況類似於將向量分解成所選座標系中的分量。解耦模式，或作為近似，弱耦合模式在您想要描述系統隨時間的演化時特別方便，因為每個模式獨立於其他模式演化，您可以簡單地將時間演化加起來。在許多情況下，考慮不太複雜的弱耦合模式並將其描述為微擾就足夠了。

在每個模式系統中，您必須選擇一些（連續或離散）編號（稱為“量子數”）用於系統中的模式。在克拉德尼圖形中，您可以簡單地計算不同空間方向上駐波的節點線數，以獲得編號，只要它是唯一的。對於解耦模式，能量或等效地，頻率可能是一個好主意，但通常您需要更多的數字來區分具有相同能量/頻率的不同模式（這就是所謂的簡併能級的情況）。通常這些額外的數字指的是模式的對稱性。例如，平面波——它們在空間均勻的情況下是解耦的——可以透過以下事實來表徵：在空間上移動（平移）它們後，唯一的結果是其振盪的相移。顯然，對應於三個空間方向上單位平移的相移為這些模式提供了良好的編號。它們被稱為波矢或等效地，模式的動量。具有根據球諧函式的角依賴性的球面波（參見圖片）——它們在球對稱的情況下是解耦的——類似地透過以下事實來表徵：在繞 z 軸旋轉它們後，唯一的結果是其振盪的相移。顯然，對應於單位角度旋轉的相移是這些模式良好編號的一部分；它被稱為磁量子數 m（它必須是整數，因為 360° 旋轉不應有任何影響）或等效地，軌道角動量的z 分量。如果您將尖銳波包視為模式系統，則波包的位置是該系統的一個很好的編號。在晶體學中，模式通常根據其在晶體對稱操作中的變換行為（稱為群表示）進行編號，另請參見對稱群、晶體系統。

因此，模式數通常指的是物理量，稱為可觀察量，這些量表徵了模式。對於每個模式數，您可以引入一個稱為算符的數學運算，它只將給定模式乘以該模式的模式數的值。只要您選擇了實際使用並以算符的模式數為特徵的模式系統，就可以做到這一點。這樣的系統稱為本徵模式系統，或本徵態：尖銳波包不是動量算符的本徵模式，它們是位置算符的本徵模式。球諧函式是磁量子數的本徵模式，解耦模式是能量算符的特徵值等等。如果您有多個模式的疊加，您只需對每個貢獻應用算符並將結果加起來。如果您選擇了不同的模式系統，該系統不使用與算符對應的模式數，您只需將給定的模式分解成本徵模式，然後再次將算符作用於貢獻的結果加起來。因此，如果您有多個本徵模式的疊加，例如，不同頻率的模式的疊加，那麼您將得到可觀察量不同值的貢獻，在這種情況下是能量。然後說疊加對可觀察量具有不確定的值，例如在鋼琴音調中，基頻和作為基頻倍數的高次諧波的疊加。疊加中的貢獻通常並不相等，例如，在鋼琴音調中，非常高次諧波的貢獻並不大。從數量上講，這是由各個貢獻的振幅來表徵的。如果只有一個模式數值的貢獻，則疊加被稱為具有確定的或尖銳的值。

• 波動粒子二象性基礎。

如果您進行位置測量，結果是佔據一個非常尖銳的波包，它是位置算符的本徵模式。這些尖銳的波包看起來像點狀物體，它們彼此強烈耦合，這意味著它們很快就會擴散。

測量

在給定情況下對這種模式數進行測量時，結果是該模式數的本徵模式，該本徵模式是從給定疊加中的貢獻中隨機選擇的。所有其他貢獻都假定在測量中被消除——這被稱為波函式坍縮，這個過程的一些特徵是值得懷疑和爭議的。選擇特定本徵模式的機率等於振幅的絕對平方，這被稱為玻恩機率定律。這就是為什麼在量子力學中，疊加中模式的振幅被稱為“機率振幅”的原因。所得本徵模式的模式數值是可觀察量測量的結果。當然，如果您在測量之前對可觀察量具有確定的值，那麼測量不會改變任何東西，結果是確定的。這種圖景被稱為哥本哈根解釋。埃弗裡特的多個世界理論對測量過程給出了不同的解釋；它不涉及任何波函式坍縮。相反，被測量系統的模式和測量裝置的模式的組合的疊加（一個糾纏態）被形成，並且這些疊加分量的進一步時間演化彼此獨立（這被稱為“多個世界”）。

舉個例子：一個尖銳的波包是位置可觀察量的本徵模式。因此，對這種波包位置的測量結果是確定的。另一方面，如果您將這種波包分解成平面波的貢獻，即波矢或動量可觀察量的本徵模式，您將獲得各種具有許多不同動量的模式的貢獻，並且動量測量的結果將相應地。直觀地說，這可以透過仔細觀察一個尖銳或非常窄的波包來理解：由於波包中只有很少的空間振盪，因此只能讀出波矢的非常不精確的值（對於有數學傾向的讀者來說：這是傅立葉變換的常見行為，動量模式系統中疊加的振幅是位置模式系統中疊加的振幅的傅立葉變換）。所以在這種具有確定位置的狀態下，動量是非常不確定的。反之亦然：您在所選疊加中確定的動量越多，位置就越不尖銳，這被稱為海森堡不確定性關係。

兩個不同的模式數（以及相應的算符和可觀察量），它們都作為相同模式系統中的特徵出現，例如，克拉德尼圖形中一個方向上的節點線數和另一個方向上的節點線數，或位置本徵模式系統中的不同位置分量，被稱為對易或彼此相容（在數學上，這意味著兩個對應算符的乘積的順序無關緊要，它們可以對易）。位置和動量是非對易模式數，因為您不能將確定的動量歸因於位置本徵模式，如上所述。因此，沒有模式系統同時使用位置和動量（指相同空間方向）作為模式數。

薛定諤方程、狄拉克方程等

正如聲學中，振動方向（稱為偏振）、聲速和聲音傳播介質的波阻抗對於計算模式（如查爾德尼圖形中所見）的頻率和外觀至關重要，電子或光子/電磁模式也是如此：為了計算暴露於吸引或排斥波的勢能、或等效地暴露於折射率和波阻抗變化、或暴露於磁場的模式（及其頻率或時間演化），需要根據模式的偏振特徵使用不同的方程。

• 電子模式（其偏振特徵由自旋 1/2 描述）由狄拉克方程計算，或者在相對論理論無關緊要的情況下，由薛定諤方程和泡利方程近似計算。
• 光子/電磁模式（偏振：自旋 1）由麥克斯韋方程組計算（你看，19 世紀就已經找到了第一個量子力學方程！這就是為什麼從電磁理論過渡到量子力學比從點力學過渡要容易得多）。
• 自旋 0 的模式將由克萊因-戈登方程計算。

結論

想象原子中的電子不是一個從一個地方跳到另一個地方或繞軌道執行的小點（不存在軌道，只有軌道），而是想象電子是佔據一個延展的軌道，而軌道是一個被原子核吸引力限制在原子核附近的振動波，要比想象電子是一個小點更容易理解，也更符合物理規律。這就是為什麼聲學的查爾德尼圖形和諧振器中電磁波的正常模式是量子物理中軌道影像的良好類比。如果你看到這種類比，量子力學就會變得不那麼奇怪。從電磁理論（或聲學）到量子理論的步驟，要比從點力學到量子理論的步驟容易得多，因為在電磁學中，你已經處理了振盪的波和模式，並求解了特徵值方程以找到這些模式。你只需要像在經典電磁學中處理光一樣，把單個電子當作波來處理。

在這種圖景中，經典物理學和量子物理學之間的唯一區別是，在經典物理學中，你可以將振盪模式激發到一個連續的程度，稱為經典振幅，而在量子物理學中，這些模式被離散地“佔據”。——費米子模式在給定時間只能被佔據一次，而玻色子模式可以被佔據多次。粒子只是模式的佔據，不多不少。正如在經典物理學中存在模式的疊加一樣，在量子力學中，你也會得到模式佔據的量子疊加，而縮放和相移因子被稱為（量子）振幅。例如，在碳原子中，你擁有 6 個低能量（即頻率）電子模式的佔據組合。糾纏態只是模式佔據組合的疊加。即使是量子場的態也可以用這種方式完全描述（除了假設的拓撲缺陷）。

正如你在聲學和電磁學中可以選擇不同型別的模式，例如平面波、球諧函式或小波包，你也可以在量子力學中這樣做。所選擇的模式並不總是解耦的，例如，如果你在吉他的共鳴體中選擇平面波作為聲學模式系統，你就會在模式的牆壁上反射到不同的模式，即你擁有耦合的振盪器，並且必須求解一個耦合的線性方程組來描述該系統。量子力學中也是如此：不同的特徵函式系統只是同一個概念的新名稱。能量特徵函式是解耦的模式，而位置運算元（德爾塔型波包）的特徵函式或非球對稱系統中角動量運算元的特徵函式通常是強耦合的。

測量中發生的事情取決於解釋：在哥本哈根解釋中，你需要假設波函式坍縮到測量運算元的某個特徵模式，而在埃弗裡特的“多世界理論”中，會形成一個糾纏態，即被觀察系統的模式佔據的疊加和觀察測量裝置的模式佔據的疊加。

量子力學和量子場論的形式

在狄拉克的形式主義中，模式佔據的疊加被指定為狀態向量或狀態，寫成 $|\psi \rangle$（$\psi$ 是疊加的名稱），模式 $n$ 的單一佔據，寫成 $|\psi _{n}\rangle$ 或簡寫為 $|n\rangle$。真空態，即沒有模式佔據的情況，寫成 $|0\rangle$。由於疊加是一種線性運算，即它只涉及乘以複數和加法，如

$|\phi \rangle ={\sqrt {1/3}}\,|n\rangle -{\sqrt {2/3}}\,|m\rangle$

(a superposition of the single occupations of mode $n$ and mode $m$ with the amplitudes ${\sqrt {1/3}}$ and $-{\sqrt {2/3}}$, respectively), the states form a vector space (i.e. they are analogous to vectors in Cartesian coordinate systems). The operation of creating an occupation of a mode $n$ is written as a generator ${\hat {a}}_{n}^{\dagger }$ (for photons) and ${\hat {b}}_{n}^{\dagger }$ (for electrons), and the destruction of the same occupation as a destructor ${\hat {a}}_{n}$ and ${\hat {b}}_{n}$, respectively. A sequence of such operations is written from right to left (the order matters): In ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}$ an occupation of the electronic mode $n$ is moved to the electronic mode $m$ and a new occupation of the electromagnetic mode $i$ is created — obviously, this reshuffling formula represents the emission of a photon by an electron changing its state. $\alpha \,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}+\beta \,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}$ is the superposition of two such processes differing in the final mode of the photon ($i$ versus $j$) with the amplitudes $\alpha$ and $\beta$, respectively.

如果模態編號更加複雜——例如為了描述一個氫原子的電子模態（即軌道），你需要四個模態編號n、l、m、s——這樣的模態的佔據情況可以寫成$|n,l,m,s\rangle$ 或者 ${\hat {b}}_{n,l,m,s}^{\dagger }|0\rangle$（文字描述：在真空中建立了一個（n，l，m，s）模態佔據後的狀態）。如果你有兩個不同軌道的佔據，你可以寫成

$|n_{1},l_{1},m_{1},s_{1};n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}\rangle$ 或者 ${\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger }|0\rangle$.

重要的是區分兩個模態的這種雙重佔據和同一兩個模態的單一佔據的疊加，後者可以寫成

$\alpha \,|n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}\rangle +\beta \,|n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}\rangle$ 或者 $(\alpha \,{\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }+\beta \,{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger })|0\rangle$.

但多個佔據的疊加也是可能的，甚至不同數量或不同種類粒子的狀態的疊加也是可能的

$(\alpha \,{\hat {b}}_{n_{3},l_{3},m_{3},s_{3}}^{\dagger }{\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }+\beta \,{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger }+\gamma \,{\hat {a}}_{i}^{\dagger })|0\rangle$.