量子化學/變數替換積分

在計算積分時，將形如 $\int f(g(x))g'(x)dx$ 的複雜積分轉換為更簡單的函式的一種有效方法是使用“變數替換” (或替換) 技術。這種技術透過引入一個新變數來簡化積分， $u$ 替換 $g(x)$。當積分包含具有已知導數的函式或易於計算出導數的函式時，此方法最為有效，因為此過程利用了鏈式法則。變數替換技術的常規步驟如下；

1. 選擇你的替換， $u=g(x)$：確定要積分的函式的哪個部分你想要替換為變數 $u$。被替換的部分應該有一個導數， $du$，它與積分的其餘部分相似（即一個倍數）。
2. 計算導數， ${du \over dx}=g'(x)$：求所選函式部分關於 $x$ 的導數，然後重新排列表達式以用 $dx$ 表示你新變數的導數， $du$，$du=g'(x)dx$。
3. 新變數替換：將原函式用 $x$ 和 $dx$ 表示，並將新函式用 $u$ 和 $du$ 表示。此步驟應透過用 $u$ 替換原函式的一部分，並用 $du$ 的倍數替換 $dx$ 來簡化積分。
4. 計算新積分：用替換後的變數 $u$ 求解新的簡化積分。
5. 還原原變數：用原函式 $u=g(x)$ 替換新變數。

示例

$\int \sin(x)\cos(x)dx$

1. 選擇你的替換項 $u=g(x)$。在本例中，你應該注意到 $g(x)=\sin(x)$ 對 $x$ 的導數會得到積分其餘部分的倍數。因此，此情況下的最佳替換項為：

$u=g(x)=\sin(x)$

2. 計算導數 ${du \over dx}=g'(x)$。在本例中，其中 $u=\sin(x)$，你會使用已知的三角恆等式來計算導數。然後將導數重新排列，得到用 $dx$ 表示的 $du$；

${du \over dx}=g'(x)=\cos(x)$

$du=\cos(x)dx$

3. 變數替換：在本例中，變數 $u$ 將替換 $\sin(x)$，而 $du$ 將替換 $\cos(x)dx$。

$\int \sin(x)\cos(x)dx=\int udu$

4. 計算新積分：在本例中，使用冪律求解積分。

$\int udu={u^{2} \over 2}+C$

5. 恢復原變數：將 $u=g(x)=\sin(x)$ 替換回函式中。

${u^{2} \over 2}+C={\sin ^{2}(x) \over 2}+C$