RHIT MA113/多元積分

多元積分

多元積分的計算

多元積分從內到外計算，首先計算最內層的積分，然後向外計算。

${\begin{aligned}A&=\int \limits _{1}^{3}\int \limits _{0}^{x^{2}}\,dy\,dx\\&=\int \limits _{1}^{3}\left(\int \limits _{0}^{x^{2}}\,dy\right)\,dx\\&=\int \limits _{1}^{3}x^{2}\,dx\\A&={\frac {26}{3}}\\\end{aligned}}$

內層積分的限可能包含變數，只要這些變數在包含它的積分中被積分。因此，最外層積分的限必須只包含常數。

改變積分順序

只要積分順序正確改變，多元積分將覆蓋相同的區域，因此積分順序不會影響多元積分的最終結果。一般來說，明智的做法是首先確定最外層積分的限，然後向內工作，以避免任何錯誤。

用途

平均值

函式 $f(x)$ 的平均值等於 ${\frac {\iint \limits _{R}\,f(x)\,dA}{\iint \limits _{R}\,dA}}$

面積/體積

面積的公式是 $\iint \limits _{R}\,dA$，體積是 $\iiint \limits _{R}\,dV$

在笛卡爾座標系中，$dA=dx\,dy$ 和 $dV=dx\,dy\,dz$，因此面積和體積分別是 $\iint \limits _{R}\,dx\,dy$ 和 $\iiint \limits _{R}\,dx\,dy\,dz$

同樣的過程可以應用於極座標，圓柱座標和球座標，如下所示

在極座標系中，$dA=r\,d\theta \,dr$

在圓柱座標系中，$dV=r\,d\theta \,dr\,dz$

在球座標系中，$dV=\rho ^{2}\,\sin {(\phi )}\,d\rho \,d\phi \,d\theta$

質量

物體的質量公式為 $\iiint \limits _{R}\,\sigma \,dV$，其中 $\sigma$ 是物體的密度（可以是常數或位置的函式）

矩

一階矩

$\iiint \limits _{R}\,r\,\sigma \,dV$，其中 r 是到旋轉軸或線的距離

二階矩

$\iiint \limits _{R}\,r^{2}\,\sigma \,dV$，其中 r 是到旋轉軸或線的距離