R 程式設計/機率函式/二項式

二項分佈

• N 個伯努利試驗（所有試驗都具有相同的成功機率）的總和
• N 次拋擲可能不公平的硬幣中正面出現的次數。
• 在水樣中真正存在的 N 個卵囊中，實際計數的個數，假設每個卵囊具有相同的回收機率。
• 此分佈具有 2 個引數（N 和 P），儘管我們通常知道試驗次數（N），因此只有一個引數未知（P）。

機率質量函式

• dbinom(K,N,P)，其中 K 是成功次數，N 是試驗次數，P 是成功的機率。
• dbinom(5,10,0.5) = 0.2460938

具有相同試驗次數（10）但不同成功率（0.5 和 0.2）的二項式機率質量函式。

${\begin{array}{l}\operatorname {dbinom} (K,N,P)=\operatorname {combin} (N,K)\cdot p^{K}\cdot (1-p)^{N-K}\\\operatorname {combin} (N,K)={\frac {\displaystyle N!}{\displaystyle K!\cdot (N-K)!}}\end{array}}$

分佈函式

• pbinom(K,N,P)
• pbinom(5,10,0.5) = 0.6230469

N=10，P=0.2（藍色）和 P=0.5（紅色）。

生成隨機變數

• rbinom(M,N,P)
• rbinom(12,10,0.5) -> 5 5 7 5 5 6 7 6 6 6 4 7
• hist(rbinom(1000,10,0.5)) --> 直方圖

檔案：Binom hist.JPG

1000 個二項式偏差樣本，顯示為直方圖。

• hist(rbinom(1000,10,0.5), breaks = seq(from=-0.5, to=12.5))將整數值放在條形圖的中心（而不是條形圖的右側）。

引數估計

大多數情況下，我們可以計算試驗次數，因此該引數（N）是已知的。我們觀察正值的個數（K），並利用這些資訊來估計未觀察到的“成功”機率（P）。

• M 個二項式的總和與 M*N 個伯努利試驗的總和相同 = binom(M*N,P)
• 最大似然
  • lambda = sum(successes)/sum(trials) = sum(K)/sum(N)
• 貝葉斯
  • 在均勻先驗的情況下，後驗是Beta(alpha=1+sum(K), beta=1+sum(N)-sum(K))
  • 在先驗機率質量在 0 和 1 上，並將剩餘質量分配給 Beta(1,1) 的情況下，請參閱拋硬幣示例。

檔案：Beta1.JPG

來自 Mathcad 的影像

檔案：Binom.jpg

來自 WinBUGS 的影像

• 經典
  • 正態近似
  • 精確置信區間

但是，如果 M 個二項式試驗的試驗次數未知呢？我們可以使用資料 K[1] 到 K[M] 來估計 N 和 P 嗎？

從重複的獨立同分布二項式試驗中估計兩個引數

外部連結

• 維基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_distribution
• NIST/SEMATECH：http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366i.htm