比例、比率及其應用
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比率作為數學語言中的基本構造，用於探索美感的原因，包括形狀和音樂。因此，比率是人類對幾何和時間的一種概念，是人類感知的一部分。關於比率的推理是比例，即兩個比率是等價的，但大小不同，由此產生了比率的數學理論，並派生出不同的數學學科。比率的概念在古代數學史上成為了重要的工具，特別是在微積分中，伴隨著可除性、乘法等其他數學概念。但現代對比率的定義主要是算術，它將比率視為一個值，而不是比率本身，因此比率的意義和可能用途丟失了。本書試圖從歷史和方法學的角度研究比率，以恢復比率在歷史上的可能用途，因此我們或許能夠在新的事物上使用類似的方法和概念。也就是說，比率將被視為一種可以幫助的工具，而不是僅僅具有值的算術實體。
在正式討論比率之前，我們先探討一下比率本身的概念的出現，這樣我們就可以知道它可以在哪裡使用，以及相關討論的原因。
讓我們將比率視為人類思維的一種內在功能。當我們說某人瘦的時候，這意味著身高相對更大於該人的跨度，這就是比率發揮作用的地方——瘦的概念是從比率的功能中得出的。這裡，函式一詞意味著一種思維活動，它接受輸入（身高和跨度），執行一些過程（比較身高和跨度，並匹配瘦的概念），併產生輸出（瘦的表達）。
這種瘦比率通常被稱為 縱橫比，它具有嚴格的含義：“不同維度幾何形狀的比率”，它產生了瘦、胖、寬、窄、深等的相對概念。也就是說，我們將比率作為一種理解事物幾何屬性的工具，並使用此屬性來分析類似的事物。例如，樹突棘可以被認為是瘦的，這具有生物學意義。
想象一下，有些人缺乏比率的認知能力，或者這種能力沒有得到很好的發展，結果他們不能本能地使用這個概念來理解和分析事物；相反，他們只能像機器一樣手動地遵循其他人給出的相關概念的定義，例如：“頭部到頸部直徑比率大於 1.100 μm 的棘突被認為是瘦的”。對於機器來說，這裡的瘦一詞只是一個字面概念，沒有任何意義或隱含的意思。
從技術上講，比率用於描述形狀的幾何組織。當我們說某人的臉很漂亮時，這意味著臉部各部分的大小和位置在我們看來是完美排列的。這裡沒有比較臉部各部分，我們只是想測量每個部分並列出一個清單。某人的眼睛可能比鼻子大，而某人的鼻子可能比眼睛大，但它們都可以被認為是美麗的。這裡，比率意味著一個整體中各部分的幾何組織。
一個基本的例子是三角形，它的三條邊可以用比率 表示。在畢達哥拉斯學派看來，三角形 被認為是神聖的，因為它具有特定的比率、形狀（直角三角形）和規則（畢達哥拉斯定理）。這個 三角形實際上代表一個形狀，或者是一類具有相同比率的三角形，它們被稱為相似，並且它們遵循相同的規則——畢達哥拉斯定理。因此，方程 實際上意味著有兩個相似的物體，它們不等於；這種感覺不同於分數的算術等式，例如 .
比率作為比較兩個量的概念是算術的。但在歐幾里得的幾何元素第五卷中，提出了一箇中性的比率定義。
比率和分數最初是兩個獨立的概念，用於不同的情況。