狹義相對論能量視覺化

狹義相對論能量公式的三角形視覺化

眾所周知的公式

$E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}$ 反映了

$pc$

和

$m_{0}c^{2}$

是三角形的直角邊。

透過認識到

$pc=mcv$

很明顯，當速度（v）接近 c 時，α 角接近垂直，因此

$pc=mc^{2}$

確實等於 E。

計算 α 可以透過

$tan(\alpha )={\frac {pc}{m_{0}c^{2}}}={\frac {mcv}{m_{0}c^{2}}}={\frac {{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}cv}{m_{0}c^{2}}}$

現在我們可以進行一些引數消除，比如

${\frac {pc}{m_{0}c^{2}}}={\frac {{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}v}{c}}$

簡化此表示式，我們得到

${\frac {pc}{m_{0}c^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {({\frac {c}{v}})^{2}-1}}}$

最後我們得到

$pc={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {({\frac {c}{v}})^{2}-1}}}$

其中，僅知道靜止質量和速度，就可以很容易地計算出 pc 與靜止能量的倍數關係。

相對論動能視覺化

相對論動能的圖形視覺化，下面的 mk 應該寫成 mk0

使用向量，我們可以將總能量寫成

$E=m_{0}c^{2}a_{x}+pca_{y}$

這給出了 E 的大小為

$|E|={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}$

並且當使用

$E_{k}=E-E_{0}$

我們可以寫成

$E_{0}=nm_{0}c^{2}a_{x}+npca_{y}$

那麼 Ek 就是

$E_{k}=E-E_{0}=(1-n)m_{0}c^{2}a_{x}+(1-n)pca_{y}$

其中 n<1，因此

$E_{k}=m_{k0}c^{2}a_{x}+m_{k}vca_{y}$

其中 m_k0<m_0 且 m_k<m

E_0 向量的長度是

$E_{0}={\sqrt {(nm_{0}c^{2})^{2}+(npc)^{2}}}=n{\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}=m_{0}c^{2}$

這意味著

$E_{0}=nE$

顯然，E_0 的能量小於總能量 E。

這個結果相當有趣，Ek 似乎有一個“靜止能量”，它小於實際的靜止能量。觀察 pc，同樣的情況也發生在質量上，這必須發生，因為動能是透過從 E 中減去靜止能量來計算的，而唯一能夠做到這一點的方法是保持 E-向量方向（但反向），這樣 pc-質量與靜止質量的比例相同，否則減法是不可能的。