表示論/集合表示

定義（集合表示）:

集合表示 是一個群在集合範疇中的表示。

或者，集合表示也被稱為群作用，我們說 $G$ 作用於一個集合 $S$。每當 $g\in G$，我們將用 $g$ 來表示 $\operatorname {Aut} (S)$（也就是 $S$ 的置換）的對應元素，使得 $g$ 成為 $S$ 上的雙射函式。特別是，對於 $x\in S$，我們可以理解諸如 $gx$（作為 $g(x)$ 的簡寫）這樣的表示式。

定義（軌道）:

設 $G$ 是作用於集合 $S$ 的群，設 $x\in S$。元素 $x$ 的軌道 定義為集合

$Gx:=\{gx|g\in G\}$.

命題（群作用將集合劃分為軌道）:

設 $G$ 是作用於集合 $S$ 的群。那麼 $S$ 被劃分為 $G$ 的軌道。

證明：我們透過證明在同一個軌道上是一個等價關係來證明該斷言。

1. $x\sim x$，因為 $ex=x$，因為該表示是一個群同態，所以 $e$ 代表單位元
2. $x\sim y\Rightarrow y\sim x$ 因為 $gx=y\Rightarrow x=g^{-1}y$ 由於該表示是一個群同態，所以 $g^{-1}gx=x$
3. $x\sim y\wedge y\sim z\Rightarrow x\sim z$ 因為 $y=gx$ 以及 $z=hy$ 意味著 $z=(hg)x$ 因為 $(hg)x=h(gx)$ 由於該表示是一個群同態 $\Box$

定義（傳遞作用）:

假設 $G$ 是作用在 $S$ 上的群。當且僅當所有元素都在同一個軌道上時，該作用被稱為 **傳遞** 的，即只有一個軌道，並且它就是整個 $S$。

等價地，我們可以要求對於所有 $x,y\in S$，存在 $g\in G$ 使得 $gx=y$。