研究方法/雙因素方差分析

引言

在我們之前的章節中，我們探討了在研究中使用單一變數的方法；然而，心理學中進行的大部分研究都涉及多個變數的使用。這是因為很少有研究人員可以使用單個變數來解釋人類行為。我們之前學習的材料涵蓋了使用一個自變數。實際上，研究問題更常見的是涉及使用多個自變數。

本章將探討雙變數被試間設計的使用，以及用於測量此類設計的統計方法，稱為雙因素方差分析。

雙變數設計的優勢

在研究中，使用雙變數設計比使用單變數設計提供了許多優勢。第一個優勢是效率提高。這是因為雙變數設計包含了使用兩個單變數設計的所有要素。由此，使用一個雙變數設計比研究兩個單變數設計實驗更具成本效益。

另一個優勢是我們可以分析設計中兩個變數的互動作用。這有助於我們瞭解變數組合如何影響行為。特別是，它使我們能夠理解和分析兩個自變數對因變數的互動效應。在此，互動作用意味著一個自變數的影響受到另一個自變數的影響；或者，互動作用意味著一個自變數之間的關係在另一個自變數的不同水平（型別）下是不同的。

例如，研究人員Cohen、Nisbett、Bowdle和Schwaz（1996）進行了一項實驗，他們檢查了剛受過侮辱的白人男性參與者與未受過侮辱的參與者（來自美國北部和南部地區的男性）的反應。他們測量了他們的睪丸激素水平，為他們的攻擊性水平建立了一個操作性定義。這是因為睪丸激素可以透過唾液樣本輕鬆測量，並且與喚醒（尤其是攻擊性）相關。假設是，受到侮辱的參與者會表現出比未受侮辱的參與者更高的睪丸激素水平；然而，還有第二個自變數：參與者的地域背景。事實上，研究人員從北部地區選取了一半的參與者，另一半來自南部。研究人員認為，來自南部的男性，他們擁有“榮譽文化”，會表現出比北部男性更大的睪丸激素水平升高。這是因為南部的男性從小就被教導在受到侮辱或暴力攻擊時保護自己的性格，而北部的男性則沒有，或者較少。他們認為，一個來自南部的男性受到侮辱會表現出更多的喚醒。

此示例顯示了文化變數（北部或南部男性）如何影響攻擊性變數（以睪丸激素水平的形式），並且還顯示了受到侮辱如何影響攻擊性水平。如果一個變數的影響在另一個變數的所有水平上都不一致，則這兩個變數之間可能存在互動作用。例如，如果研究結果表明，北部男性的睪丸激素水平在受到侮辱時沒有升高，但南部男性的睪丸激素水平升高了，則會存在互動作用。請記住，這是自變數之間的互動作用；因此，成為南部男性和受到侮辱的變數相互作用，產生攻擊性增加的效果，而成為北部男性和受到侮辱則產生不同的互動作用，以防止攻擊性增加。

使用雙變數設計方差分析的最後一個優點是統計功效的提高。如果您回憶一下，功效是指自信地拒絕錯誤的零假設的能力。這種型別的研究設計提高了統計功效，因為組內方差往往小於可比的單變數研究（兩個單因素方差分析）的組內方差。如果您回憶一下，方差越小，測量的波動越小；因此，F比率越小；因此，置信區間越小，這意味著我們更有可能選擇了一個較小的可能值範圍，這反過來又限制了統計顯著性的可能值範圍；因此，在正確拒絕錯誤的零假設方面具有更大的統計功效。

總結

使用雙因素方差分析的雙變數設計的優勢

• 降低成本
• 能夠分析兩個自變數的互動作用
• 由於方差較小，統計功效增強

雙變數設計的邏輯

考慮雙變數設計的第一個概念是處理組合的概念。最初，當我們設計雙變數研究時，我們會選擇每個變數要使用的水平數。因為我們將兩個變數組合到一個研究中，所以我們建立了稱為析因設計的東西。析因設計表示一項研究，該研究為自變數每個可能水平組合都包含一個獨立組。例如，在Cohen等人的實驗中。（1996），侮辱條件有兩個水平，參與者背景有兩個水平。因此，該研究使用了2*2析因設計。此設計建立了4個獨立組，因為它採用每個自變數的每個水平並將其相乘。在Cohen實驗中，自變數侮辱有2個水平（對照和侮辱），自變數文化有2個水平（北部或南部）；因此，有兩個自變數，每個自變數有2個水平。因此，它是一個2*2析因設計。以下是一個示例

Cohen 等人。2*2析因設計

因素B 參與者背景	因素A 侮辱條件
	對照a1	侮辱a2
北部b1	對照+北部 (a1b1)	侮辱+北部 (a2b1)
南部b1	對照+南部 (a1b2)	侮辱+南部 (a2b2)

自變數每個水平的組合都會建立一個處理條件或單元格。2*2析因設計建立了4個處理條件或單元格。如果一項研究有一個自變數有3個水平，另一個自變數有4個水平，那麼這項研究將建立12個處理條件或單元格。

當兩個變數都是被試間變數時，我們可以得出結論，各個單元格是獨立組。獨立性意味著為一個單元格收集的資料與其他單元格不相關。B.一般線性模型

當我們討論單因素方差分析時，我們瞭解到單因素方差分析下的邏輯是一般線性模型。我們瞭解到，每個觀察值是基線總均值加上處理效應加上組內隨機誤差的總和。

$X_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij}\,$

其中

$\sum \alpha _{i}=0\,$

雙因素方差分析的邏輯也是一般線性模型。但是，在雙因素方差分析的一般線性模型中，還有兩個組成部分

$X_{ijk}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+(\alpha \beta )_{ij}+\epsilon _{ijk}\,$

其中

$\sum \alpha _{i}=0,\ \sum \beta _{j}=0,\ \sum (\alpha \beta )_{ij}=0,\ \,$

也就是說，單個觀測值 Xijk 是基線總均值、自變數 A 在水平 i 處的效應、自變數 B 在水平 j 處的效應、A 在水平 i 處和 B 在水平 j 處的聯合效應（稱為互動效應）以及 A 在水平 i 處和 B 在水平 j 處組合的組內隨機誤差的總和。通常的做法是用點來代替平均值的索引來表示特定的均值。然後，所有索引上的平均值，即總均值，用以下表示：

$M=X_{...}\,$.

效應的估計值，即引數 μ、α_i、β_j 和 (αβ)_ij 分別為：

$M=X_{...}\,$

$a_{i}=X_{i..}-X_{...}\,$

$b_{j}=X_{.j.}-X_{...}\,$

$(ab)_{ij}=X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...}\,$

Cohen 等人。2*2析因設計

因素B 參與者背景	因素A 侮辱條件
	對照a1	侮辱a2
北部b1	對照+北部 (a1b1)	侮辱+北部 (a2b1)
南部b1	對照+南部 (a1b2)	侮辱+南部 (a2b2)

例如，對於第一個單元格中的第一個受試者 (X1jk)，觀察到的分數將是總均值 (M)、所有對照組受試者的平均分數 (Ma1) 與總均值 (M) 之間的差值、所有來自北方的受試者的平均分數 (Mb1) 與總均值 (M) 之間的差值、第一個單元格中的平均分數 (Ma1b1) 與兩個自變數在特定水平上的平均分數之差以及觀察到的分數與第一個單元格中的平均分數之差（表示組內隨機誤差）的總和。

X1jk = M + (Ma1-M) + (Mb1-M) + (Ma1b1- Ma1- Mb1+M) + (X1jk - Ma1b1)

C. 平方和的組成部分

為了檢驗上述效應的顯著性，需要分析總方差，即根據各種估計值將其分解成適當的部分。

$SST=\sum (X_{ijk}-X_{...})^{2}=\sum (X_{ijk}-X_{ij.}+X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...}+X_{i..}-X_{...}+X_{.j.}-X_{...})^{2}=\,$

=$\sum (X_{ijk}-X_{ij.})^{2}+\sum (X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...})^{2}+\sum (X_{i..}-X_{...})^{2}+\sum (X_{.j.}-X_{...})^{2}=$

$=SSE+SSAB+SSB+SSA\,$

如果我們重新排列上述等式，則得到：

X1jk - M= (Ma1-M) + (Mb1-M) + (Ma1b1- Ma1- Mb1+M) + (X1jk - Ma1b1)

我們可以看到，每個觀察值與總均值的偏差是第一個自變數在特定水平上的平均分數與總均值的偏差之和、第二個自變數在特定水平上的平均分數與總均值的偏差之和、兩個自變數組合的平均分數與兩個自變數在特定水平上的平均分數之差以及隨機誤差的總和。

如果我們將等式的所有部分平方並對所有受試者的偏差求和，則得到：

SStotal=SSA+SSB+SSAB+SSwithin

上述等式表明，總平方和可以分解成四個部分：第一個自變數的不同水平之間的平方和、第二個自變數的不同水平之間的平方和、兩個自變數的不同組合之間的平方和（即，不同單元格之間）以及組內平方和。

D. 方差的組成部分

如果我們將平方和除以對應的自由度，我們得到五種型別的方差。總方差是平方和除以總自由度 (N-1)。總方差也稱為總均方。由於自變數引起的方差是自變數的平方和除以該變數的自由度。自變數的自由度是自變數的水平數減 1。因此，在上述示例中，由於侮辱條件引起的方差為 SSA/(2-1) (dfA=j-1)。由於參與者背景引起的方差為 SSB/(2-1) (dfB=k-1)。

由於兩個自變數的組合（或互動作用）引起的方差是組合的平方和除以互動作用自由度，互動作用自由度是兩個自變數的兩個自由度的乘積，dfAB=dfA*dfB=(j-1)*(k-1)。

組內方差是組內平方和除以組內自由度，組內自由度為 N-j*k。

主效應和互動作用

A.主效應 主效應是指一個自變數對因變數的影響，同時保持其他變數的影響不變。具體來說，主效應代表單一自變數組間方差的一種特殊形式。在雙因素方差分析中，有兩個主效應，每個因素一個。當我們使用方差分析檢查資料時，每個主效應可能具有統計學意義或不具有統計學意義。因此，結果有四種潛在模式

1)因子 A 具有統計學意義的主效應，但因子 B 沒有。

2)因子 B 具有統計學意義的主效應，但因子 A 沒有。

3)兩個因素都具有統計學意義的主效應。

兩條線平行，兩個自變數之間沒有互動作用。一個自變數之間的關係，例如，侮辱條件與反應之間的關係，在第二個變數的不同水平上沒有差異，在本例中是參與者的背景。4)兩個因素都沒有統計學意義的主效應。

B.互動作用 互動作用表明一個變數的影響在所有其他變數的水平上並不一致。也就是說，一個自變數之間的關係在另一個變數的不同水平上是不同的。以上所有圖形都表明沒有互動作用的情況。當沒有互動作用時，兩條線是平行的。當有互動作用時，兩者將不平行。對於 2*2 析因設計，有四種可能的互動作用：1) 因子 A（侮辱條件）具有統計學意義的主效應。但因子 B 沒有統計學意義的主效應。

因素B （背景）	對照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	6.0	6.0	6.0
南方人 b2	3.0	9.0	6.0
平均值	4.5	7.5	6.0

因子 A（侮辱條件）存在主效應。也就是說，不考慮背景差異，對照組 (M=4.5) 和侮辱組 (7.5) 之間存在顯著差異。因子 B（背景）沒有顯著的主效應。也就是說，不考慮侮辱條件差異，南方人 (M=6.0) 和北方人 (6.0) 之間沒有差異。這兩個因素之間存在互動作用。南方人在受到侮辱後睪酮水平顯著升高。相比之下，北方參與者的睪酮在兩種侮辱條件下都沒有變化。互動作用的標誌是兩條線不平行。

2) 因子 B 存在統計學意義的主效應，但因子 A 沒有統計學意義的主效應。

因素B （背景）	對照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	6.0	3.0	4.5
南方人 b2	6.0	9.0	7.5
平均值	6.0	6.0	6.0

參與者背景存在主效應。不考慮侮辱條件差異，南方人的睪酮水平 (M=7.5) 高於北方人 (M=4.5)。侮辱條件沒有主效應。不考慮背景差異，對照組 (M=6.0) 的參與者與侮辱組 (M=6.0) 的參與者具有相似的睪酮水平。這兩個因素之間存在互動作用。侮辱對南方和北方參與者產生了相反的影響。侮辱導致南方參與者的睪酮升高，而北方參與者的睪酮降低。

3) 兩個主效應都具有統計學意義，並且存在互動作用。

因素B （背景）	對照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	3.0	6.0	4.5
南方人 b2	3.0	12.0	7.5
平均值	3.0	9.0	6.0

因子 A 存在統計學意義的主效應。不考慮背景差異，對照組 (M=3.0) 和侮辱組 (9.0) 之間存在顯著差異。因子 B 存在統計學意義的主效應。不考慮侮辱背景差異，南方人的睪酮水平 (M=7.5) 高於北方人 (M=4.5)。這兩個因素之間存在統計學意義的互動作用。侮辱條件提高了睪酮水平。此外，南方參與者的睪酮水平總體上比北方參與者增加得更多。4) 兩個主效應都不具有統計學意義，但互動作用具有統計學意義。

因素B （背景）	對照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	3.0	9.0	6.0
南方人 b2	9.0	3.0	6.0
平均值	6.0	6.0	6.0

侮辱條件沒有主效應。不考慮背景差異，對照組 (M=6.0) 的參與者與侮辱組 (M=6.0) 的參與者具有相似的睪酮水平。因子 B（背景）沒有顯著的主效應。也就是說，不考慮侮辱條件差異，南方人 (M=6.0) 和北方人 (6.0) 之間沒有差異。但是，存在統計學意義的互動作用。對於南方人，侮辱會增加睪酮水平。對於北方人，侮辱會降低睪酮水平。