黎曼猜想/附錄

定理 1

對於所有整數，$n>1$,

$\int _{[0,1]^{n}}{\frac {1}{1-\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\prod _{i=1}^{n}\mathrm {d} x_{i}=\zeta (n)$

證明

使用$(1-x)^{-1}$的冪級數，

$\int _{[0,1]^{n}}{\frac {1}{1-\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\prod _{i=1}^{n}\mathrm {d} x_{i}=\int _{[0,1]^{n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{j}\prod _{i=1}^{n}\mathrm {d} x_{i}$

計算，

$=\int _{[0,1]^{n}}\sum _{j=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{j}\mathrm {d} x_{i}$

$=\sum _{j=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{n}\int _{0}^{1}x_{i}^{j}\mathrm {d} x_{i}$

計算積分，

$=\sum _{j=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{j+1}}$

計算乘積，

$=\sum _{j=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{j}}$

$=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{n}}}$

使用僅在$\Re n>1$ 時成立的 zeta 函式的定義，

$\int _{[0,1]^{n}}{\frac {1}{1-\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\prod _{i=1}^{n}\mathrm {d} x_{i}=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{n}}}=\zeta (n)$ 對所有整數 $n>1$ 成立 $\blacksquare$

注意

可以注意到，

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x}}\mathrm {d} x$

無法收斂，因為 $-\lim _{x\to 1}\log(1-x)=\infty$.