黎曼猜想/Zeta 函式介紹

定義 1

$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\,\forall s\in \mathbb {C} :\Re (s)>1$

定理 1

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

其中 $\prod _{p|{\text{prime}}}$ 表示對所有素數的乘積。

證明

注意，

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}\ldots$

因此，

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\ldots$

可以注意到，每隔一項都被移除了。因此，

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}\ldots$

減去，

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}\ldots$

可以注意到，這個過程對 RHS 進行了篩分，這意味著，

$\left(\prod _{p|{\text{prime}}}1-p^{-s}\right)\zeta (s)=1$

因此，

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$ $\blacksquare$

定理 2

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$

將被積函式乘以${\frac {e^{-t}}{e^{-t}}}$，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}t^{s-1}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t$

將$(1-e^{-t})^{-1}$寫成冪級數形式，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nt}\mathrm {d} t$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t$

利用替換$\xi =nt\implies {\frac {1}{n}}\mathrm {d} \xi =\mathrm {d} t$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\xi }\left({\frac {\xi }{n}}\right)^{s-1}{\frac {1}{n}}\mathrm {d} \xi$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}e^{-\xi }\xi ^{s-1}\mathrm {d} \xi$

使用無窮級數的性質，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }e^{-\xi }\xi ^{s-1}\mathrm {d} \xi$

根據 $\Gamma$ 函式的定義，

$\implies \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

根據定義，這確實是正確的。 $\blacksquare$