黎曼猜想/預備知識

詞彙表

級數收斂:

取一個複數序列 $a_{n}$，令

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$

序列 $S_{N}$ 可能被稱為收斂，如果 $S_{N}$ 趨向於某個有限極限 $L$，當 $N$ 趨於無窮大。具體來說，$S_{N}$ 和 $L$ 之間的差，當 $N$ 趨於無窮大時，變得任意小，即

$|S_{N}-L|\to 0$，當 $N\to \infty$

狄利克雷級數:

狄利克雷級數是一個具有以下形式的無窮級數：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}s)$

其中 $a_{n}$ 和 $s$ 是複數，$\lambda _{n}$ 是一個嚴格遞增的非負實數序列。在這本書中，我們研究一個特殊情況，即 $\lambda _{n}=\log n$ 的情況，即狄利克雷L級數

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(-\log(n)s)$

$=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

伽馬函式:

伽馬函式將階乘擴充套件到所有複數，除了非正整數。它由以下不當積分定義：

$s!=\Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}e^{-t}\mathrm {d} t$

滿足以下性質：

$\Gamma (1)=1$

$s\Gamma (s)=\Gamma (s+1)$