黎曼猜想/猜想

定理 1

$\zeta (-2s)=0\forall s\in \mathbb {N}$

證明

考慮 Zeta 的函式方程，

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

注意，對於 $\zeta (-2s)$，正弦項的值為 $\sin(-\pi s)$，對於所有整數 $s$ 的值為 0，因此 $\zeta (-2s)=0$ 對於所有自然數 $s$ $\blacksquare$.

定義 1

這些零點被稱為平凡零點。作為集合，

$\zeta _{t}=\{-2s:s\in \mathbb {N} \}$

不在此集合中的零點被稱為非平凡零點。

注意 1

上述論證不能應用於 $(s<1)\in \mathbb {Z}$，因為 $\zeta (1)$ 是一個簡單的極點（$s=0$），$\Gamma$ 的負引數也是如此（$s<0$）。

定理 2

所有非平凡零點 $\zeta$ 的實部位於區間 $(0,1)$ 內。

定理 3

$\zeta (1+it)\neq 0\forall t\in \mathbb {R}$

考慮不等式：

$\cos \theta \geq -1$

$\implies 2(1+\cos \theta )^{2}\geq 0$

$\implies 3+4\cos \theta +\cos 2\theta \geq 0$

根據前面章節推導的 $\zeta$ 的定義：

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

對兩邊取對數，利用 $\log \left(\prod f(x)\right)=\sum \log \left(f(x)\right)$

$\log \zeta (s)=\sum _{p|{\text{prime}}}\log \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)=-\sum _{p|{\text{prime}}}\log(1-p^{-s})$

將 $\log$ 寫成冪級數形式：

$\log \zeta (s)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-sn}}{n}}$

將 $s=\sigma +it$ 代入，

$\log \zeta (\sigma +it)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-n\sigma -nit}}{n}}=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\exp(-nit\log p)$

對引數取模，

$\log |\zeta (\sigma +it)|=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\Re \exp(-nit\log p)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\Re \left(\cos(nt\log p)-i\sin(nt\log p)\right)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\cos(nt\log p)$

代入適當的值，

$3\log |\zeta (\sigma )|+4\log |\zeta (\sigma +it)|+\log |\zeta (\sigma +2it)|=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3+4\cos(nt\log p)+\cos(2nt\log p)}{p^{n\sigma }}}$

如果設 $nt\log p=\theta$，則可以明顯地看到，

$\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3+4\cos(nt\log p)+\cos(2nt\log p)}{p^{n\sigma }}}\geq 0$

很明顯地說明，

$\log |\zeta ^{3}(\sigma )|+\log |\zeta ^{4}(\sigma +it)|+\log |\zeta (\sigma +2it)|\geq 0$

對等式兩邊取指數，

$\zeta ^{3}(\sigma )\zeta ^{4}(\sigma +it)\zeta (\sigma +2it)\geq 1$

假設$\zeta$在$1+it_{0}$處有零點，則：

$\lim _{\sigma \to 1^{+}}\zeta ^{3}(\sigma )\zeta ^{4}(\sigma +it_{0})\zeta (\sigma +2it_{0})=0$

由於$\lim _{\sigma \to 1^{+}}\zeta (\sigma )$給出極點，而$\zeta (1+it_{0})$給出零點，這與之前提到的不等式矛盾，因此透過反證法證明了定理3 $\blacksquare$.

定理4

$\zeta (it)\neq 0\forall t\in \mathbb {R}$

利用函式方程，

$\zeta (it)=2^{it}\pi ^{it-1}\sin \left({\frac {\pi it}{2}}\right)\Gamma (1-it)\zeta (1-it)$

根據定理3，右邊不等於零，因此左邊也不等於零。 $\blacksquare$

定理3和4足以證明定理2。 $\blacksquare$

猜想

黎曼知道所有零點都在臨界帶內，並推測：

猜想

$\zeta$的所有非平凡零點都具有${\frac {1}{2}}$的實部。

上述猜想被認為是純數學中最著名的猜想，也是黎曼最著名的作品。