黎曼幾何/曲線引數化

定義（正則曲線）:

令 $(M,g)$ 為黎曼流形。曲線 $\gamma :I\to M$ 稱為 **正則** 當且僅當對於所有 $t\in {\overset {\circ }{I}}$，我們有

$\gamma '(t)\neq 0$.

命題（正則曲線的弧長引數化存在性）:

令 $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$ 為正則、連續可微曲線，其中 $I=(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 是一個開連通區間。那麼存在不同的開連通區間 $J=(c,d)\subseteq \mathbb {R}$ 和一個連續可微的雙射函式 $\rho :J\to I$，使得

$\forall t\in J:\|(\gamma \circ \rho )'(t)\|=1$.

證明：由鏈式法則，我們有

$(\gamma \circ \rho )'(t)=\gamma '(\rho (t))\rho '(t)$

對於所有 $t\in J$。因此，方程 $\|(\gamma \circ \rho )'(t)\|=1$ 等價於

$|\rho '(t)|={\frac {1}{\|\gamma '(\rho (t))\|}}$,

並且後一方程解的存在性意味著前一方程解的存在性。此外，求解

$\rho '(t)={\frac {1}{\|\gamma '(\rho (t))\|}}$,

因為等式的右邊總是正的。從 Peano 定理，我們可以推斷出存在一個 $\rho$ 在 $0$ 的鄰域上滿足給定的恆等式，其中我們施加了初始條件 $\rho (0)=t_{0}$，其中 $t_{0}\in J$ 是任意的。然後我們可以 將解擴充套件到最大區間，$\Box$

命題（正則修正的存在性）:

令 $\gamma :[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一個二次連續可微的曲線。那麼存在一個修正曲線 ${\tilde {\gamma }}:[0,c]\to \mathbb {R} ^{n}$，定義在區間 $[0,c]$ 上，其中 $c>0$ 是某個正數，使得

$\forall t\in [0,c]:\|{\tilde {\gamma }}'(t)\|=1$.

證明： 定義

$U:=\{t\in [0,1]|\gamma '(t)\neq 0\}=(\gamma ')^{-1}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})$;

由於 $\gamma '$ 的連續性，這是一個 $[0,1]$ 的開子集。它最多分解成可數個連通分量

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$，其中 $U_{n}=(a_{n},b_{n})$ 對於所有 $n\in \mathbb {N}$；

當連通分量的數量有限時，比如 $N$ 個，我們按照慣例設定 $a_{n}=b_{n}=1$，其中 $n>N$。

現在固定一個 $n$，使得 $a_{n}<b_{n}$。我們希望修改 $\gamma |_{(a_{n},b_{n})}$，使得對於修改域中的所有點 $t$（無論它是什麼），修改後的導數的絕對值等於 $1$。透過對 $n$ 的歸納，我們假設我們已經找到了一個修改 ${\tilde {\gamma }}_{n-1}:[0,c_{n}]\to \mathbb {R} ^{n}$，它遍歷 $\Box$

定義（按弧長引數化）:

命題（按弧長引數化的特徵）: