Scheme 程式設計/數字和表示式

在本節中，我們將繼續使用數字，因為它們既熟悉又易於理解。我們還將介紹 Scheme 型別系統，並更仔細地考慮 Scheme 表示式是如何求值的。

型別

首先，當我們說一個 Scheme 物件是“數字”或“布林值”時，我們的意思是？這些名稱表示物件的型別。一般來說，瞭解物件的型別可以讓我們瞭解如何使用它。如果我們知道$a$和$b$都屬於布林值型別，我們知道邏輯運算中的 AND 運算是在$a$和$b$上定義的；也就是說，($a$ AND $b$)的值是有意義的。我們說這樣的有意義的表示式是型別正確的。另一方面，如果$b$屬於數字型別，我們沒有辦法求值($a$ AND $b$)，因為我們不知道如何在 AND 的兩個引數都不是布林值的情況下理解 AND。在這種情況下，表示式是型別錯誤的，其值是未定義的。

Scheme 是一種強型別語言，這意味著型別錯誤的表示式是被禁止的；對它的求值會導致 Scheme 報告錯誤。 例如，我們可以預期 Scheme 會拒絕以下表達式

> (+ 10 #t)
;; Error: (+) bad argument type - not a number: #t

從錯誤訊息中，我們可以推斷出 Scheme 過程 + 期望其引數為數字。由於 #t 是一個布林值，所以表示式 (+ 10 #t) 是型別錯誤的；無法獲得有意義的值，因此程式的執行停止。透過這種方式，Scheme 可以防止我們在繼續執行時遇到由於偽造值帶來的進一步意外情況。

我們如何獲得 Scheme 物件的型別資訊？Scheme 型別是由型別謂詞定義的。這些是過程，它們以任何 Scheme 物件作為引數，如果物件具有特定型別，則返回 #t，否則返回 #f。因此，透過對型別 foo 應用型別謂詞 foo?，我們可以將所有 Scheme 物件集合劃分為型別為 foo 的物件和其餘物件。

到目前為止，我們已經使用數字和布林值，它們分別具有型別謂詞 number? 和 boolean?，正如您可能猜到的那樣。

> (number? 10)
#t
> (number? #t)
#f
> (boolean? 3)
#f
> (boolean? #f)
#t

Scheme 保證 基本型別（包括數字和布林值）是不相交的。這意味著，例如，沒有 Scheme 物件既是數字又是布林值；它可能是一個或另一個，也可能兩者都不是，但它不可能兩者都是。用型別謂詞來說，沒有 Scheme 物件 x 使得 (number? x) 和 (boolean? x) 都是 #t。

我們不會在這本書中經常使用像 number? 這樣的基本型別謂詞，但理解它們如何定義 Scheme 型別系統很重要。它們在核心 Scheme 和庫過程中不斷被使用，例如，為了確保引數是型別正確的。

數字

我們在上一節中查看了幾個簡單的數值程式的示例。但是，到目前為止，我們看到的程式只使用了整數。Scheme 具有豐富的數字型別系統，稱為數值塔，它讓我們能夠使用有理數、實數和複數進行計算。

> (+ 9/10 4/5)
17/10
> (* 2.423 -5.39245)
-13.06590635
> 2.762e8
276200000.0      ; 2.762 * 10^8
> (- 4+2i 1+7i)
3-5i
> (* 3+5i (+ 1.3 (/ 3 2)))
8.4+14.0i

正如這些示例所示，Scheme 還提供了許多編寫數字的方法。有理數以 a/b 的形式編寫，實數可以用指數（“科學”）表示法寫成 men（它給出值為 $m\times 10^{n}$），複數以直角形式 a+bi（或 a-bi）編寫，其中 a 是實部，b 是虛部。

正如我們在最後一個巢狀的示例中看到的，Scheme 允許我們混合不同型別的數字，而無需手動將它們轉換為共同的形式。

Scheme 還提供了豐富的數值過程。以下是一些示例

> (gcd 36 60)  ; greatest common divisor
12
> (min 3 4.7 2.1)  ; min gives the minimum of its arguments
2.1
> (log 18)  ; natural logarithm of 18
2.89037175789616
> (floor-remainder 15 8)  ; integer division remainder (modulo)
7

請參閱 R7RS § 6.2.6 以獲取數值過程的完整列表。

表示式

到目前為止，我們已經看到了 Scheme 對許多表達式進行求值（並且希望你在你的 Scheme 直譯器中嘗試過它們）。但是，我們對 Scheme 表示式的含義一直含糊不清。很容易猜到 (+ 2 3) 是透過將數字 2 和 3 相加來求值的，但當我們遇到複雜的巢狀或包含不熟悉的事物（例如自然數或加法）的表示式時，猜測是不夠的。我們需要一個模型來對我們一直在看到的 Scheme 表示式進行求值。以下是簡化版本，但對於我們在本章中將要研究的程式來說是正確的。

表示式 (+ 2 3) 似乎有點簡單，但讓我們一步一步地進行。這個表示式是將運算子 + 應用於運算元 2 和 3 的應用。要對應用進行求值，

• 首先，對運算子和運算元進行求值。

• 然後，將作為運算子值的程式應用於運算元的值。

我們在 "Scheme 簡介" 中的第一個示例中看到，要求 Scheme 對一個數字進行求值，會將該數字作為值返回給我們。這個觀察結果為我們提供了數字求值的一般規則。

數字求值：數字是自求值的。

有了這條規則，對運算元進行求值就變得微不足道了。現在我們需要運算子 + 的值。這個值是一個過程物件。這個值是不透明的；也就是說，它是一個用於執行加法的“黑盒子”，Scheme 提供了它，而我們無法看到它的內部工作原理。然後，我們可以將這個值應用於運算元的值，得到 5，即整個表示式的值。

一個更有趣的例子是表示式 (* (+ 2 3) (- 7 5))。在這裡，運算子是 *，運算元是 (+ 2 3) 和 (- 7 5)。要找到這個應用的值，我們必須對這些子表示式進行求值，而這些子表示式本身就是應用！以下是一個可能的求值步驟序列：

(* (+ 2 3) (- 7 5))
  = (* 5 (- 7 5))
  = (* 5 2)
  = 10

更復雜的表示式是透過完全相同的過程進行求值的；參見下面的練習 1。只要我們處理完全由應用構建的表示式，我們就知道了如何對它們進行求值；我們遞迴地應用我們的求值規則，直到表示式完全求值。

練習 (解答)
為以下表達式提供一個求值步驟序列。 (* (- 7 (/ 9 3)) (* 10 (- 15 3) (+ 4 2)))