半導體/MESFET 電晶體

MESFET 工作原理

假設一個具有均勻摻雜和銳利耗盡區域的 N 溝道 MESFET，如圖 1 所示。

耗盡區域$W_{n}$ 由二極體的耗盡寬度給出。其中電壓是從柵極到溝道的電壓，溝道電壓沿溝道位置 x 給出為$V_{gc}(x)$.

$W_{n}(x)={\sqrt {\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{gc}(x))}{qN_{d}}}}$

$W_{n}(x)^{2}={\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{gc}(x))}{qN_{d}}}$

${\frac {W_{n}(x)^{2}qN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}=\Psi -V_{gc}(x)$

$V_{gc}(x)=\Psi -{\frac {W_{n}(x)^{2}qN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$

${\frac {dV_{gc}(x)}{dW_{n}(x)}}=-{\frac {2W_{n}(x)qN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$ (1)

溝道中的電流密度由下式給出

$J_{n}=\sigma \xi$

$I_{n}(x)=\sigma \xi \cdot W\cdot b(x)$

$I_{n}(x)=-\sigma {\frac {dV_{gc}(x)}{dx}}W(a-W_{n}(x))$

其中

$\xi =-{\frac {dV_{gc}(x)}{dx}}$

因此，

$I_{n}(x)=-\sigma aW{\bigg (}1-{\frac {W_{n}(x)}{a}}{\bigg )}{\frac {dV_{gc}(x)}{dWn(x)}}{\frac {dWn(x)}{dx}}$

$\int _{0}^{L}I_{n}(x)\,dx=\int _{0}^{L}-\sigma aW{\bigg (}1-{\frac {W_{n}(x)}{a}}{\bigg )}{\frac {dV_{gc}(x)}{dW_{n}(x)}}{\frac {dW_{n}(x)}{dx}}\,dx$

$I_{n}\cdot L=-\sigma aW\int _{Wn(0)}^{W_{n}(L)}{\bigg (}1-{\frac {W_{n}(x)}{a}}{\bigg )}{\frac {dV_{gc}(x)}{dW_{n}(x)}}\,dW_{n}(x)$

從公式 1 代入

$I_{n}={\frac {-\sigma aW}{L}}\int _{W_{n}(0)}^{W_{n}(L)}{\bigg (}1-{\frac {W_{n}(x)}{a}}{\bigg )}{\bigg (}-{\frac {2W_{n}(x)qN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\bigg )}\,dWn(x)$

$I_{n}={\frac {\sigma aW2qN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}L}}\int _{W_{n}(0)}^{W_{n}(L)}{\bigg (}W_{n}(x)-{\frac {W_{n}(x)^{2}}{a}}{\bigg )}\,dWn(x)$

$I_{n}={\frac {2\sigma aWqN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}L}}{\bigg [}{\frac {W_{n}^{2}(x)}{2}}-{\frac {W_{n}^{3}(x)}{3a}}{\bigg ]}_{W_{n}(0)}^{W_{n}(L)}$

$I_{n}={\frac {2\sigma aWqN_{d}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}L}}{\bigg [}{\frac {W_{n}^{2}(L)-W_{n}^{2}(0)}{2}}-{\frac {W_{n}^{3}(L)-W_{n}^{3}(0)}{3a}}{\bigg ]}$

$I_{n}={\frac {2\sigma aWqN_{d}a^{2}}{6L\cdot 2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\bigg [}{\frac {3(W_{n}^{2}(L)-W_{n}^{2}(0))}{a^{2}}}-{\frac {2(W_{n}^{3}(L)-W_{n}^{3}(0))}{a^{3}}}{\bigg ]}$

定義常數 Β 為無耗盡時的通道電導。W₀₀ 為耗盡通道所需功函式 [1]

$W_{00}=\Psi -V_{to}={\frac {qN_{d}a^{2}}{2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$

$\beta ={\frac {\sigma a}{3LW_{00}}}$

現在定義 V_to 為使通道被掐斷的電壓。d 為漏極通道耗盡量與最大耗盡量的比率。s 為源極通道耗盡量與最大耗盡量的比率。

$d={\frac {W_{n}(L)}{a}}={\frac {\sqrt {\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{gd})}{qN_{d}}}}{\sqrt {\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{to})}{qN_{d}}}}}={\sqrt {\frac {\Psi -V_{gd}}{W_{00}}}}$

$s={\frac {W_{n}(0)}{a}}={\frac {\sqrt {\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{gs})}{qN_{d}}}}{\sqrt {\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\Psi -V_{to})}{qN_{d}}}}}={\sqrt {\frac {\Psi -V_{gs}}{W_{00}}}}$

代入

$I_{n}=W\cdot {\frac {\sigma a\cdot W_{00}}{3L}}{\big [}3(d^{2}-s^{2})-2(d^{3}-s^{3}){\big ]}$

$I_{n}=W\cdot \beta W_{00}^{2}{\big [}3(d^{2}-s^{2})-2(d^{3}-s^{3}){\big ]}$ (2)

公式 2 是 **肖克利表示式** [2]，用於描述線性區域的漏極電流。當器件進入飽和狀態時，一端被夾斷（通常是漏極）。因此 $d=1$，可以推匯出飽和區域的公式。

$I_{sat}=\beta W_{00}^{2}(1-3s^{2}+2s^{3})$

$g_{m}=3\beta W_{00}(s-1)$

$G_{DS}=3\beta W_{00}(1-d)$

簡化模型

$I_{ds}={\frac {3}{2}}\beta W_{00}^{2}{\bigg [}{\frac {(V_{gs}-v_{to})^{2}}{W_{00}^{2}}}-{\frac {(V_{gd}-v_{to})^{2}}{W_{00}^{2}}}{\bigg ]}$

$g_{m}=3\beta W_{00}(V_{gs}-V_{to})$

$G_{ds}=3\beta W_{00}(V_{gd}-V_{to})$

通用冪律

人們發現，一個通用的冪律能更好地擬合實際器件 [3]。

$I_{ds}=\beta {\big [}(V_{gs}-V_{to})^{Q}-(V_{gd}-V_{to})^{Q}{\big ]}$

其中 Q 取決於摻雜分佈，通常在 1.5 到 3 之間可以獲得良好的擬合。當 Q = 2.4 時，通用冪律近似等於肖克利方程。Β 也需要經驗選擇，並且與之前的 Β 成正比。

$\beta {\mbox{ proportial to }}{\frac {\sigma aW}{3LW_{00}}}$

模型的各個區域是透過模型分箱來完成的。然而，這表明從一個區域到另一個區域存在一個急劇的過渡，這可能不準確。

$I_{ds}=\left\{{\begin{matrix}0&V_{gs}<V_{to}\\\beta {\big [}(V_{gs}-V_{to})^{Q}-(V_{gd}-V_{to})^{Q}{\big ]}&V_{gs}\leq V_{gd}\\\beta (V_{gs}-V_{to})^{Q}&V_{gs}>V_{gd}\end{matrix}}\right.$

參考資料

[1] A. E. Parker. 本地化製造的砷化鎵數字積體電路的設計系統。悉尼大學博士論文，1990 年。

[2] W. Shockley. 單極場效應電晶體。IEEE Trans/ 電子器件，20(11):1365–1376，1952 年 11 月。

[3] I. Richer 和 R.D. Middlebrook。場效應電晶體實驗特性冪律性質。IEEE 會刊，51(8):1145–1146，1963 年 8 月。