序列與級數/無限乘積

定義（無限乘積）:

設$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個數列，其元素屬於$\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。如果極限

$\lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}b_{n}$

存在，則稱其為$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的無限乘積，記作

$\prod _{n=1}^{\infty }b_{n}$.

命題（無限乘積收斂的必要條件）:

為了使數列$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的

$\prod _{n=1}^{\infty }b_{n}$

無限乘積存在且不為零，必須有

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$.

證明：假設不滿足$\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$。則存在$\epsilon >0$ 和一個無限序列$(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$，使得對於所有$k\in \mathbb {N}$ 都有 $|b_{n}-1|>\epsilon$。因此，記

$P_{N}:=\prod _{n=1}^{N}b_{n}$,

我們將有

$|P_{n_{k}}-P_{n_{k}-1}|=|P_{n_{k}-1}||b_{n}|$.

假設為了反證，$\lim _{N\to \infty }P_{N}$ 存在且等於 $c\in \mathbb {R}$。那麼當 $k$ 足夠大時，我們將有

$\left||P_{n_{k}-1}||b_{n}|-|c|\right|\geq |c|\epsilon /2$,

這是一個矛盾。 $\Box$

命題（無窮乘積收斂的級數判別法）:

令 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 為實數序列。如果

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty$,

那麼

$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$

收斂。

證明： $\Box$