序列與級數/多重極限

定理（交換求和與積分）:

設 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一個測度空間，設 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是從 $\Omega$ 到 $\mathbb {K} ^{d}$ 的函式序列，其中 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。如果以下兩個表示式中的任意一個

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }\|f_{n}(\omega )\|_{\infty }\mu (d\omega )$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }\|f_{n}(\omega )\|_{\infty }\mu (d\omega )$

收斂，那麼另一個也收斂，並且我們有

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(\omega )\mu (d\omega )=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}(\omega )\mu (d\omega )$.

證明：將求和視為對 $\mathbb {N}$ 採用 σ-代數 $2^{\mathbb {N} }$ 和計數測度的積分，考慮到積分和求和是逐點定義的，這個定理是 Fubini 定理 的直接推論。 $\Box$

定理（交換求和與實微分）:

設 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是從 $\mathbb {R} ^{d}$ 的一個開子集 $U$ 到 $\mathbb {R} ^{k}$ 的連續可微函式序列。假設這兩個

$\sum _{n=1}^{\infty }\|f_{n}(x)\|_{\infty }$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\|Df_{n}(x)\|_{\infty }$

對所有 $x\in U$ 收斂，並且對所有 $x\in U$ 存在 $\delta >0$ 和一個序列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $\mathbb {R}$ 中，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}<\infty$ 並且 $\forall n\in \mathbb {N} :\forall y\in {\overline {B_{\delta }(x)}}:a_{n}\geq |Df_{n}(y)|$.

那麼

$D\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }Df_{n}(x)$

對所有 $x\in U$.

證明： $\Box$