序列與級數/冪級數

命題（一維冪級數的恆等定理）:

令

$f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ 和 $g(z):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}$

是兩個（複數或實數）冪級數，在 $B_{\epsilon }(z_{0})$ 上收斂，其中 $\epsilon >0$。假設 $z_{0}$ 是集合 $\{z\in B_{\epsilon }(z_{0})|f(z)=g(z)\}$ 的聚點。那麼我們有 $a_{n}=b_{n}$ 對所有 $n\in \mathbb {N} _{0}$ 成立。

證明： 假設 $a_{n}=b_{n}$ 並不對所有 $n\in \mathbb {N} _{0}$ 成立。那麼存在一個最小的 $n$（稱之為 $n_{0}$），使得 $a_{n_{0}}\neq b_{n_{0}}$。考慮函式

$h(z):=f(z)-g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})(z-z_{0})^{n}$,

在至少 $B_{\epsilon }(z_{0})$ 上定義。由於 $a_{n}=b_{n}$ 對於 $n<n_{0}$ 成立，冪級數 $h$ 從 $(z-z_{0})^{n_{0}}$ 開始。因此，

$j(z):={\frac {h(z)}{(z-z_{0})^{n_{0}}}}=\sum _{n=n_{0}}(a_{n}-b_{n})(z-z_{0})^{n-n_{0}}$

是在 $B_{\epsilon }(z_{0})$ 上定義良好的函式，由於 冪級數的連續性，它也是連續的。此外，

$j(0)=a_{n}-b_{n}\neq _{0}$,

並且根據 $|j(z)|$ 的連續性，存在一個 $\delta >0$ 使得對於所有 $z\in B_{\delta }(z_{0})$，$|j(z)|>0$。但根據定義，

$h(z)=(z-z_{0})^{n}j(z)$,

因此，對於 $z\in B_{\delta }(z_{0})\setminus \{z_{0}\}$，我們有 $|h(z)|=|z-z_{0}|^{n}|j(z)|>0$，因此 $h(z)\neq 0$，進而 $f(z)\neq g(z)$。但這與假設 $z_{0}$ 是 $\{z\in B_{\epsilon }(z_{0})|f(z)=g(z)\}$ 的聚點相矛盾。 $\Box$

示例（多維冪級數恆等定理的錯誤）:

對於多維冪級數，即型別為

$h(z):=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(z-z_{0})^{\alpha }$ 的冪級數，對於一個 $z_{0}=(z_{0,1},\ldots ,z_{0,d})\in \mathbb {C} ^{d}$，

集合 $\{z|h(z)=0\}$ 可能有 $z_{0}$ 作為聚點，即使 $h$ 不消失。一個簡單的例子（在任何維度 $d\geq 2$ 中都有效）是 $z_{0}=0$ 以及

$h(z)=z_{1}z_{2}$.

定理（阿貝爾定理）:

令

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$

是一個收斂半徑為 $1$ 的實數或複數冪級數，假設

$\lim _{z\to 1}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}=\alpha \in \mathbb {C}$.

那麼

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\alpha$.

{{proof|根據 阿貝爾分部求和，我們有

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}z^{n}=z^{x}A(x)-\ln(z)\int _{1}^{x}A(t)z^{t}dt$

對於 $|z|<1$ 以及 $x\geq 1$，其中我們像往常一樣記

$A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}$.

代入 $z=\exp(w)$，我們得到

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\exp(wn)=\exp(wx)A(x)-w\int _{1}^{x}A(t)\exp(wt)dt$.

然後我們取 ${\displaystyle }$